Введение

Никаких. Некоторые элементарные примеры групп в математике приведены в статье Группа (математика). Дополнительные примеры перечислены здесь.

Группа симметрии квадрата: диэдрическая группа порядка 8

Dih4 как 2D точечная группа, D4, [4], (*4•), порядка 4, с 4-кратным вращением и зеркальным генератором. Дих4 в 3D-диэдрической группе D4, [4,2]+, (422), порядка 4, с вертикальным 4-кратным генератором вращения порядка 4 и 2-кратным горизонтальным генератором.

Группы очень важны для описания симметрии объектов, будь то геометрические (например, тетраэдр) или алгебраические (например, набор уравнений). В качестве примера рассмотрим стеклянную пластину квадратной формы определенной толщины (с буквой "F", написанной на ней, чтобы различать разные положения). Чтобы описать её симметрию, мы формируем множество всех жестких преобразований квадрата, которые не приводят к видимым изменениям (за исключением положения буквы "F"). Например, если объект, повернутый на 90° по часовой стрелке, выглядит так же, то это преобразование является одним из элементов множества, обозначим его, например, a. Мы также можем отразить пластину относительно вертикальной оси, чтобы нижняя поверхность стала верхней, а левый край – правым. Опять же, после выполнения этого преобразования стеклянная пластина выглядит так же, поэтому это также элемент нашего множества, и мы называем его b. Преобразование, которое ничего не меняет, обозначается e.

Для двух таких преобразований x и y можно определить композицию x ∘ y следующим образом: сначала выполняется преобразование y, а затем преобразование x. Результат оставит пластину в прежнем виде. Важно то, что множество всех этих преобразований, с композицией в качестве операции, образует группу. Эта группа является наиболее лаконичным описанием симметрии квадрата. Химики используют симметрические группы такого типа для описания симметрии кристаллов и молекул.

Группы пермутаций

Пусть G — множество биективных отображений множества S на себя. Тогда G образует группу относительно обычного композиции отображений. Эта группа называется симметрической группой и обычно обозначается ΣS или . Нейтральный элемент G — это тождественное отображение S. Для любых двух отображений f и g из G, поскольку они биективны, композиция fg также биективна. Следовательно, G замкнута относительно композиции. Композиция отображений ассоциативна, следовательно, G является группой. Множество S может быть конечным или бесконечным.

Матричные группы

Если n – некоторое положительное целое число, мы можем рассматривать множество всех обратимых матриц n x n с компонентами, являющимися действительными числами, например. Это группа с операцией умножения матриц. Она называется общей линейной группой и обозначается GLn(R) или GL(n, R) (где R – множество действительных чисел). Геометрически она содержит все комбинации вращений, отражений, масштабирований и сдвигов n-мерного евклидова пространства, фиксирующих данную точку (начало координат). Если мы ограничимся матрицами с детерминантом 1, то получим другую группу, специальную линейную группу, SLn(R) или SL(n, R). Геометрически она состоит из всех элементов GLn(R), сохраняющих как ориентацию, так и объем различных геометрических тел в евклидовом пространстве. Если же мы ограничимся ортогональными матрицами, то получим ортогональную группу On(R) или O(n, R). Геометрически она состоит из всех комбинаций вращений и отражений, фиксирующих начало координат. Именно эти преобразования сохраняют длины и углы. Наконец, если мы наложим оба ограничения, то получим специальную ортогональную группу SOn(R) или SO(n, R), которая состоит только из вращений. Эти группы являются первыми примерами бесконечных неабелевых групп. Они также являются группами Ли. Фактически, большинство важных групп Ли (но не все) могут быть представлены в виде матричных групп. Если эту идею обобщить на матрицы с комплексными числами в качестве элементов, то мы получим дополнительные полезные группы Ли, такие как унитарная группа U(n). Мы также можем рассматривать матрицы с кватернионами в качестве элементов; в этом случае нет чётко определённого понятия детерминанты (и, следовательно, нет хорошего способа определить кватернионный "объём"), но мы всё равно можем определить группу, аналогичную ортогональной группе, – симплектическую группу Sp(n). Кроме того, эту идею можно рассматривать чисто алгебраически с матрицами над любым полем, но тогда эти группы не будут группами Ли.