Введение
Сфера, касающаяся каждого ребра многогранника
В геометрии, средняя сфера или интерсфера выпуклого многогранника — это сфера, которая касается каждого ребра многогранника. Не каждый многогранник имеет среднюю сферу, но однородные многогранники, включая правильные, квазиправильные и полуправильные многогранники, а также их двойственные (тела Каталана), всегда имеют средние сферы. Радиус средней сферы называется средним радиусом. Многогранник, имеющий среднюю сферу, называется описанным вокруг этой сферы. Если у многогранника есть средняя сфера, то на ней можно построить два перпендикулярных покрытия окружностями, одно из которых соответствует смежности вершин многогранника, а другое — соответствующим образом его полярному многограннику, имеющему ту же среднюю сферу. Длина каждого ребра многогранника равна сумме расстояний от его двух конечных точек до соответствующих окружностей в этом покрытии окружностями. Каждый выпуклый многогранник имеет комбинаторно эквивалентный многогранник, канонический многогранник, который действительно имеет среднюю сферу, центр которой находится в центре точек касания его ребер. Численные алгоритмы приближения могут построить канонический многогранник, но его координаты нельзя представить точно в виде выражения в замкнутой форме. Любой канонический многогранник и его полярный двойственный можно использовать для формирования двух противоположных граней четырехмерной антипризмы.
Тангентные круги
Если O — средняя сфера выпуклого многогранника P, то пересечение O с любой гранью P — это круг, лежащий внутри грани и касающийся её рёбер в тех же точках, где её касается средняя сфера. Таким образом, каждая грань P имеет вписанный круг, и эти круги касаются друг друга тогда и только тогда, когда грани, в которых они лежат, имеют общий ребро. (Однако не все системы кругов с этими свойствами происходят от средних сфер.) Двойственно, если v — вершина P, то существует конус, вершина которого находится в точке v и который касается O по окружности; эта окружность образует границу сферического сегмента, внутри которого поверхность сферы видна из вершины. Иными словами, окружность является горизонтом средней сферы, видимым из вершины. Окружности, построенные таким образом, касаются друг друга тогда и только тогда, когда вершины, которым они соответствуют, соединены ребром.
Двойственность
Если многогранник P имеет среднюю сферу O, то полярный многогранник относительно O также имеет O в качестве своей средней сферы. Плоскости граней полярного многогранника проходят через окружности на сфере O, касающиеся конусов, вершинами которых являются вершины P. Рёбра полярного многогранника имеют те же точки касания со средней сферой, в которых они перпендикулярны рёбрам P.
Длина краев
Для многогранника с центральной сферой каждой вершине можно сопоставить действительное число (степень вершины относительно центральной сферы), равное расстоянию от этой вершины до точки касания каждого ребра, касающегося её. Для каждого ребра сумма двух чисел, сопоставленных его конечным точкам, равна длине ребра. Например, тетраэдры Крелля могут быть параметризованы четырьмя числами, сопоставленными таким образом их четырем вершинам, что показывает, что они образуют четырехмерное семейство. Например, четыре точки (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) образуют один из тетраэдров Крелля, имеющий три прямоугольных равнобедренных треугольника и один равносторонний треугольник в качестве граней. Эти четыре точки являются центрами четырех попарно касающихся сфер с радиусами для трех ненулевых точек на равностороннем треугольнике и для начала координат. Эти четыре числа (три равных и одно меньшее) являются четырьмя числами, параметризующими этот тетраэдр. Три ребра тетраэдра соединяют две точки, обе имеющие больший радиус; длина этих ребер равна сумме этих равных радиусов. Остальные три ребра соединяют две точки с разными радиусами, дающими в сумме единицу. Если многогранник с центральной сферой имеет гамильтонов цикл, то сумма длин ребер в цикле может быть разделена аналогичным образом на удвоенную сумму степеней вершин. Поскольку эта сумма степеней вершин не зависит от выбора ребер в цикле, все гамильтоновы циклы имеют одинаковую длину.
Канонический полиэдр
Одна из более сильных форм теоремы об упаковке кругов, касающаяся представления планарных графов системами касательных окружностей, утверждает, что любой полиэдральный граф может быть представлен вершинами и ребрами многогранника с центральной сферой. Эквивалентно, любой выпуклый многогранник может быть преобразован в комбинаторно эквивалентную форму с соответствующими вершинами, ребрами и гранями, обладающую центральной сферой. Горизонтальные окружности полученного многогранника могут быть преобразованы стереографической проекцией в упаковку кругов на евклидовой плоскости, граф пересечений которой является заданным графом: его окружности не пересекаются друг с другом и касаются друг друга тогда и только тогда, когда соответствующие им вершины смежны. Хотя каждый многогранник имеет комбинаторно эквивалентную форму с центральной сферой, некоторые многогранники не имеют эквивалентной формы с вписанной сферой или с описанной сферой. Любые два выпуклых многогранника с одинаковой решеткой граней и одинаковой центральной сферой могут быть преобразованы друг в друга проективным преобразованием трехмерного пространства, которое фиксирует центральную сферу. Это преобразование оставляет сферу на месте, но перемещает точки внутри сферы согласно преобразованию Мёбиуса. Любой многогранник с центральной сферой, масштабированный так, чтобы центральная сфера была единичной сферой, может быть таким образом преобразован в многогранник, для которого центроид точек касания находится в центре сферы. Результатом этого преобразования является эквивалентная форма данного многогранника, называемая каноническим многогранником, обладающая свойством, что все комбинаторно эквивалентные многогранники порождают один и тот же канонический многогранник с точностью до конгруэнтности. Другой выбор преобразования переводит любой многогранник с центральной сферой в многогранник, максимизирующий минимальное расстояние от вершины до центральной сферы. Его можно найти за линейное время, и канонический многогранник, определенный таким альтернативным способом, обладает максимальной симметрией среди всех комбинаторно эквивалентных форм того же многогранника. Для многогранников с нециклической группой симметрий, сохраняющих ориентацию, оба варианта преобразования совпадают. Например, канонический многогранник кубоида, определенный одним из этих двух способов, является кубом, расстояние от его центроида до середин его ребер равно единице, а длина его ребер равна .
Строительство
Числовое приближение к каноническому многограннику для заданного многогранного графа можно построить, представив граф и его двойственный граф в виде перпендикулярных упаковок окружностей на евклидовой плоскости, применив стереографическую проекцию для преобразования их в пару упаковок окружностей на сфере, численно найдя преобразование Мёбиуса, которое переводит центроид точек пересечения в центр сферы, и разместив вершины многогранника в точках пространства, для которых двойственные окружности преобразованной упаковки являются горизонтами. Однако координаты и радиусы окружностей на этапе упаковки окружностей могут быть неконструктивными числами, не имеющими точного аналитического выражения с использованием арифметических операций и извлечения корней n-й степени. В качестве альтернативы, более простой численный метод построения канонического многогранника, предложенный Джорджем В. Хартом, работает непосредственно с координатами вершин многогранника, корректируя их положение в попытке добиться того, чтобы ребра находились на одинаковом расстоянии от начала координат, точки минимального расстояния от начала координат имели начало координат в качестве своего центроида, а грани многогранника оставались плоскими. В отличие от метода упаковки окружностей, не доказано, что этот метод сходится к каноническому многограннику, и даже не гарантируется, что он породит многогранник, комбинаторно эквивалентный исходному, но, судя по всему, он хорошо работает на небольших примерах.
Приложения
Канонический многогранник и его полярный двойник могут быть использованы для построения четырехмерного аналога антипризмы, одно из двух противоположных граней которой комбинаторно эквивалентно любому заданному трехмерному многограннику. Неизвестно, можно ли каждый трехмерный многогранник непосредственно использовать в качестве грани четырехмерной антипризмы, не заменяя его каноническим многогранником, но не всегда возможно сделать это, используя как произвольный трехмерный многогранник, так и его полярный двойник.
В клетку яйцо
Средняя сфера в построении канонического многогранника может быть заменена любым гладким выпуклым телом. Для любого такого тела, любой многогранник имеет комбинаторно эквивалентную реализацию, чьи ребра касаются этого тела. Это описывалось как "помещение яйца в клетку": гладкое тело – это яйцо, а полиэдральная реализация – его клетка. Более того, фиксация трех ребер клетки с тремя заданными точками касания на яйце делает эту реализацию единственной.