Введение
Алгебраическая структура В математике и абстрактной алгебре, Боловая петля - это алгебраическая структура, обобщающая понятие группы. Больные петли названы в честь голландского математика Геррита Бола, который ввел их в петлю A, L, как говорят, является левой петлей Бола, если она удовлетворяет тождеству , для каждого a,b,c в L, в то время как L, как говорят, является правой петлей Бола, если она удовлетворяет , для каждого a,b,c в L. Эти идентичности могут рассматриваться как ослабленные формы ассоциативности или укрепленная форма (левой или правой) альтернативности. Круг является как левым, так и правым Болом, если и только если это является Moufang-кругом. В качестве альтернативы, правая или левая петля Бола является Moufang, если и только если она удовлетворяет гибкой идентичности a(ba) = (ab) a Различные авторы используют термин "Bol loop", чтобы относиться либо к левой, либо к правой петле Бола.
In mathematics and abstract algebra, a Bol loop is an algebraic structure generalizing the notion of group. Bol loops are named for the Dutch mathematician Gerrit Bol who introduced them in
A loop, L, is said to be a left Bol loop if it satisfies the identity
, for every a,b,c in L,
while L is said to be a right Bol loop if it satisfies
, for every a,b,c in L.
These identities can be seen as weakened forms of associativity, or a strengthened form of (left or right) alternativity. A loop is both left Bol and right Bol if and only if it is a Moufang loop. Alternatively, a right or left Bol loop is Moufang if and only if it satisfies the flexible identity a(ba) = (ab)a Different authors use the term "Bol loop" to refer to either a left Bol or a right Bol loop.
Свойства
Идентичность Бола слева (справа) непосредственно подразумевает левое (справа) альтернативное свойство, как можно показать, установив b на идентичность. Это также подразумевает левое (правое) инверсивное свойство, как можно видеть, установив b на левое (правое) инверсивное a, и используя деление петли для отмены лишнего фактора a. В результате, петли Бола имеют две боковые инверсы. Боловые петли также являются ассоциативными.
Круги Брук
Круг Бола, где вышеупомянутая двусторонняя обратная удовлетворяет свойству автоматической обратной, (ab) −1 = a−1 b−1 для всех a,b в L, известен как (левый или правый) Круг Брук или Круг К (названный в честь американского математика Ричарда Брук). Пример в следующем разделе - это цикл Брук. Круглые петли Брукка имеют применение в специальной теории относительности; см. Унгара (2002). Левые петли Брук эквивалентны гирокоммутативным гирогруппам Унгара (2002), хотя эти две структуры определены по-разному.
Пример
Пусть L обозначает множество n x n положительных определенных, гермитовых матриц над комплексными числами. Как правило, не верно, что матричное произведение AB матриц A, B в L является гермитовым, не говоря уже о положительном определённом. Однако в L существует уникальная P и уникальная унитарная матрица U, такая, что AB = PU; это полярный разложение AB. Определите двоичную операцию * на L при A * B = P. Тогда (L, *) является левой петлей Брук. Явная формула для * дается формулой A * B = (A B2 A) 1/2, где надпись 1/2 указывает на уникальный положительный определенный гермитовый квадратный корень.