Введение
Комплексный векторный пучок на сложном многообразии В математике голоморфный векторный пучок - это комплексный векторный пучок на сложном многообразии X, такой, что общее пространство E является сложным многообразием, а проекционная карта π: E → X является голоморфной. Основными примерами являются голоморфный тангенсный пучок сложного многообразия и его двойной, голоморфный котангенсный пучок. Голоморфная линия - это голоморфная векторная группа первого ранга. По ГАГА Серра, категория голоморфных векторных пучков на гладком комплексном проективном разнообразии X (сматривается как комплексный многообразный) эквивалентна категории алгебраических векторных пучков (т. е. локально свободных сборок конечного ранга) на X.
In mathematics, a holomorphic vector bundle is a complex vector bundle over a complex manifold X such that the total space E is a complex manifold and the projection map π : E → X is holomorphic. Fundamental examples are the holomorphic tangent bundle of a complex manifold, and its dual, the holomorphic cotangent bundle. A holomorphic line bundle is a rank one holomorphic vector bundle. By Serre's GAGA, the category of holomorphic vector bundles on a smooth complex projective variety X (viewed as a complex manifold) is equivalent to the category of algebraic vector bundles (i. e., locally free sheaves of finite rank) on X.
Сгусток голоморфных секций
Пусть E - голоморфный векторный пучок. Голоморфным считается локальный участок, если в окрестностях каждой точки U он является голоморфным в некоторой (эквивалентно любой) тривиализации. Это условие является локальным, то есть голоморфные секции образуют сноп на X. Этот сноп иногда обозначается, или злоупотребляя им, E. Такой сноп всегда локально свободен от того же ранга, что и ранг векторного пучка. Если E - тривиальная линия, то этот сноп совпадает со снопом структуры сложного многообразия X.
Основные примеры
Существуют пучки линий, по которым глобальные секции соответствуют однородным многочленам степени (для положительного целого числа). В частности, соответствует тривиальной линии пучка. Если мы возьмем покрытие, то мы можем найти диаграммы, определенные по. Теперь, если мы рассмотрим тривиальный пучок, мы можем сформировать индуцированные переходные функции. Если мы используем координаты на волокне, то мы можем сформировать переходные функции для любого целого числа. Каждый из них связан с линейным пучком. Поскольку векторные пучки обязательно тянутся назад, любая голоморфная подмножественность имеет связанный линейный пучок, иногда обозначаемый как .
Кохомология голоморфных векторных пучков
Если E - голоморфный векторный пучок, кохомология E определяется как кохомология снопа В частности, у нас есть пространство глобальных голоморфных сечений E. У нас также есть, что параметризирует группу расширений тривиального прямолинейного пучка X на E, то есть точные последовательности голоморфных векторных пучков 0 → E → F → X × 'C' → 0. Для структуры группы см. также сумму Баера и расширение снопа. По теореме Долбо, эта кохомология снопа может быть описана как кохомология цепного комплекса, определяемого снопами форм с значениями в голоморфном пучке.
the space of global holomorphic sections of E. We also have that parametrizes the group of extensions of the trivial line bundle of X by E, that is, exact sequences of holomorphic vector bundles 0 → E → F → X × 'C' → 0. For the group structure, see also Baer sum as well as sheaf extension. By Dolbeault's theorem, this sheaf cohomology can alternatively be described as the cohomology of the chain complex defined by the sheaves of forms with values in the holomorphic bundle Namely we have
Группа Пикарда
В контексте сложной дифференциальной геометрии группа Пикарда Pic(X) сложного многообразия X - это группа классов изоморфизма голоморфных линейных пучков с групповым законом, данным тензорным произведением и инверсией, данной дуализацией. Ее можно эквивалентно определить как первую кохомологическую группу снопа не исчезающих голоморфных функций.