Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Центр объекта в геометрии В геометрии центр (британский английский) или центр (американский английский) объекта - это точка в некотором смысле в середине объекта. В зависимости от конкретного определения центра, которое принимается во внимание, объект может не иметь центра. Если геометрия рассматривается как изучение групп изометрии, то центр - это фиксированная точка всех изометрий, которые перемещают объект на себя.
Middle of the object in geometry
In geometry, a centre (British English) or center (American English) of an object is a point in some sense in the middle of the object. According to the specific definition of centre taken into consideration, an object might have no centre. If geometry is regarded as the study of isometry groups, then a centre is a fixed point of all the isometries that move the object onto itself.
Круги, сферы и сегменты
Центр круга - это точка, равноудаленная от точек на краю. Аналогичным образом, центр сферы - это точка, равноудаленная от точек на поверхности, а центр сегмента линии - это средняя точка двух концов.
The centre of a circle is the point equidistant from the points on the edge. Similarly the centre of a sphere is the point equidistant from the points on the surface, and the centre of a line segment is the midpoint of the two ends.
Симметричные объекты
Для объектов с несколькими симметриями, центр симметрии - это точка, оставленная неизменной симметричными действиями. Таким образом, центр квадрата, прямоугольника, ромба или параллелограмма - это место, где пересекаются диагонали, это (среди других свойств) фиксированная точка вращательной симметрии. Аналогичным образом, центр эллипса или гиперболы - это место, где пересекаются оси.
For objects with several symmetries, the centre of symmetry is the point left unchanged by the symmetric actions. So the centre of a square, rectangle, rhombus or parallelogram is where the diagonals intersect, this is (among other properties) the fixed point of rotational symmetries. Similarly the centre of an ellipse or a hyperbola is where the axes intersect.
Тангенциальные и циклические многоугольники
У тангенциального многоугольника каждая из его сторон тангентна определенному кругу, называемому инциркулем или вписанным кругом. Центр внутрикруга, называемый инцентром, может считаться центром многоугольника. Каждая из вершин циклического многоугольника находится на определенном круге, называемом окружностью или окружностью. Центр окружности, называемый окружностью, может считаться центром многоугольника. Если многоугольник является как тангенциальным, так и циклическим, он называется бицентрическим. (Например, все треугольники бицентричны). Инцентр и окружность бицентрического многоугольника обычно не являются одной и той же точкой.
A tangential polygon has each of its sides tangent to a particular circle, called the incircle or inscribed circle. The centre of the incircle, called the incentre, can be considered a centre of the polygon. A cyclic polygon has each of its vertices on a particular circle, called the circumcircle or circumscribed circle. The centre of the circumcircle, called the circumcentre, can be considered a centre of the polygon. If a polygon is both tangential and cyclic, it is called bicentric. (All triangles are bicentric, for example.) The incentre and circumcentre of a bicentric polygon are not in general the same point.
Общие многоугольники
Центр общего многоугольника может быть определен несколькими различными способами. "Центроид вершины" происходит от рассмотрения многоугольника как пустого, но имеющего одинаковые массы на его вершинах. "Сторонний центрид" происходит из того, что стороны имеют постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроем (центром площади), происходит от рассмотрения поверхности многоугольника как имеющей постоянную плотность. Эти три точки, в общем, не являются одной и той же точкой.
The centre of a general polygon can be defined in several different ways. The "vertex centroid" comes from considering the polygon as being empty but having equal masses at its vertices. The "side centroid" comes from considering the sides to have constant mass per unit length. The usual centre, called just the centroid (centre of area) comes from considering the surface of the polygon as having constant density. These three points are in general not all the same point.
Проективные конусы
В проективной геометрии каждая линия имеет точку в бесконечности или "образную точку", где она пересекает все линии, которые параллельны ей. Эллипс, парабола и гипербола Евклидовой геометрии называются коническими в проективной геометрии и могут быть построены как конические Штайнера из проективности, которая не является перспективностью. Симметрия проективной плоскости с заданным коническим относительно каждой точки или полюса к линии, называемой его полярным. Понятие центра в проективной геометрии использует эту связь. Следующие утверждения принадлежат Г. Б. Халстеду. Гармонический конъюгат точки в бесконечности относительно конечных точек конечного сектора является "центром" этого сектора. Полюс прямой в бесконечности относительно определенного конуса является "центром" конуса. Полярная точка любой фигуративной точки находится в центре конического изображения и называется "диаметром". Центр любого эллипса находится внутри него, поскольку его полюс не встречается с кривой, и поэтому нет никаких тангенсов от него к кривой. Центр параболы - точка соприкосновения фигуральной прямой. Центр гиперболы лежит без кривой, поскольку фигуративная прямая пересекает кривую. Тангенсы от центра до гиперболы называются "ассимптотами". Их точки соприкосновения - это две точки в бесконечности на кривой.
In projective geometry every line has a point at infinity or "figurative point" where it crosses all the lines that are parallel to it. The ellipse, parabola, and hyperbola of Euclidean geometry are called conics in projective geometry and may be constructed as Steiner conics from a projectivity that is not a perspectivity. A symmetry of the projective plane with a given conic relates every point or pole to a line called its polar. The concept of centre in projective geometry uses this relation. The following assertions are from G. B. Halsted. The harmonic conjugate of a point at infinity with respect to the end points of a finite sect is the 'centre' of that sect. The pole of the straight at infinity with respect to a certain conic is the 'centre' of the conic. The polar of any figurative point is on the centre of the conic and is called a 'diameter'. The centre of any ellipse is within it, for its polar does not meet the curve, and so there are no tangents from it to the curve. The centre of a parabola is the contact point of the figurative straight. The centre of a hyperbola lies without the curve, since the figurative straight crosses the curve. The tangents from the centre to the hyperbola are called 'asymptotes'. Their contact points are the two points at infinity on the curve.