Введение

Метод дифференцирования одночленных многочленов

В математическом анализе правило степени используется для дифференцирования функций вида , где является действительным числом. Поскольку дифференцирование является линейной операцией в пространстве дифференцируемых функций, многочлены также можно дифференцировать, используя это правило. Правило степени лежит в основе ряда Тейлора, поскольку оно устанавливает связь между степенным рядом и производными функции.

Обобщение на рациональные показатели

После доказательства справедливости формулы степеней для целых показателей, эту формулу можно распространить на рациональные показатели.

Доказательство путем неявной дифференциации

Более прямое обобщение правила степени для рациональных показателей использует неявное дифференцирование. Пусть , где , так что .
Дифференцируя обе части уравнения по , получаем .
Решая относительно , получаем .
Поскольку , применяя законы степеней, получаем .
Таким образом, полагая , мы можем заключить, что , когда является рациональным числом.

Комплексные силовые функции

Если мы рассмотрим функции вида , где – любое комплексное число, а – комплексное число в разрезанной комплексной плоскости, исключающей точку ветвления в 0 и любой связанный с ней разрез ветви, и используем обычное многозначное определение , то легко показать, что на каждой ветви комплексного логарифма тот же аргумент, использованный выше, приводит к аналогичному результату:
Кроме того, если *n* – положительное целое число, то в разрыве ветви необходимости нет: можно определить , либо определить положительные целочисленные комплексные степени посредством комплексного умножения и показать, что для всех комплексных *z*, исходя из определения производной и бинома Ньютона. Однако, из-за многозначности комплексных степенных функций при нецелых показателях, необходимо тщательно указывать используемую ветвь комплексного логарифма. Более того, независимо от выбранной ветви, если *n* не является положительным целым числом, то функция не дифференцируема в точке 0.