Кіріспе

Бірмүшелі полиномдарды дифференциациялау әдісі

Есептеулерде, қуат ережесі нақты сан болған жағдайда, түрдегі функцияларды дифференциациялау үшін қолданылады. Дифференциациялау – дифференциалданатын функциялар кеңістігіндегі сызықтық операция болғандықтан, полиномдарды да осы ереже арқылы дифференциациялауға болады. Куат ережесі Тейлор қатарларын негізге алады, себебі ол қуат қатарын функцияның туындыларымен байланыстырады.

Рационалды экспоненттерге жалпылау

Бүтін көрсеткіштер үшін қуат ережесінің дұрыстығын дәлелдегеннен кейін, осы ережені рационалды көрсеткіштерге де қолдануға болады.

Имплицитті дифференциациялау арқылы дәлелдеу

Рационалды көрсеткіштерге қуат ережесін жалпылау үшін имплицитті дифференциация қолданылады. Анықталайық, мұндағы , сондықтан .
Екі жаққа да қатысты дифференциалдасақ,
-ны табамыз.
-дан ,
Көрсеткіштердің заңдарын қолдансақ,
Осылайша, егер рационалды сан болса, екенін қорыта аламыз.

Күрделі қуат функциялары

Егер біз функцияларды қарастырсақ, мұндағы – кез келген комплекс сан, ал – 0 тармақты нүктесінен және оған қосылған кез келген тармақты кесуден басқа, комплекс жазықтықтағы комплекс сан, және дәстүрлі көпмәнді анықтаманы қолдансақ, онда комплекс логарифмінің әрбір тармағында жоғарыда қолданылған бірдей аргумент ұқсас нәтиже беретінін көрсету оңай:
Сонымен қатар, егер – оң бүтін сан болса, тармақты кесудің қажеті жоқ: оны немесе комплекс көбейту арқылы оң бүтін комплекс дәрежелерін анықтауға болады, және барлық комплекс сандар үшін , туындының анықтамасы мен бином теоремасы бойынша. Дегенмен, бүтін емес көрсеткіштерге ие комплекс дәреже функцияларының көпмәнді табиғатына байланысты, қолданылып жатқан комплекс логарифмінің тармағын нақты көрсетуге қатысты сақ болу керек. Сонымен қатар, қандай тармақ қолданылса да, егер – оң бүтін сан болмаса, онда функция 0 нүктесінде туындыланбайды.