Введение
Тип группы В математике, в области теории групп, локально конечная группа - это тип группы, который может изучаться аналогично конечной группе. Изучались подгруппы Силоу, подгруппы Картера и абелевы подгруппы локально конечных групп. Концепция приводится в 1930 году русским математиком Сергеем Черников.
In mathematics, in the field of group theory, a locally finite group is a type of group that can be studied in ways analogous to a finite group. Sylow subgroups, Carter subgroups, and abelian subgroups of locally finite groups have been studied. The concept is credited to work in the 1930s by Russian mathematician Sergei Chernikov.
Определение и первые последствия
Локально конечная группа - это группа, для которой конечна каждая конечно сгенерированная подгруппа. Поскольку циклические подгруппы локально конечной группы конечно генерируются, следовательно, конечны, каждый элемент имеет конечный порядок, и поэтому группа периодична.
Свойства
Класс локально конечных групп закрыт под подгруппами, долей и расширениями. Локально конечные группы удовлетворяют более слабой форме теорем Сайлоу. Если локально конечная группа имеет конечную p подгруппу, содержащуюся в других p подгруппах, то все максимальные p подгруппы конечны и конъюгированы. Если конъюгатов конечно много, то число конъюгатов соответствует 1 модулю p. Фактически, если каждая подгруппа локально конечной группы имеет только множество максимальных p подгрупп, то каждая максимальная p подгруппа группы является конъюгатной. Класс локально конечных групп ведет себя несколько аналогично классу конечных групп. Большая часть теории формирований и классов Fitting 1960-х годов, а также более старой теории подгрупп Сайлоу 19-го века и 1930-х годов имеет аналог в теории локально конечных групп. Аналогично проблеме Бернсайд, математики задавались вопросом, содержит ли каждая бесконечная группа бесконечную абелевскую подгруппу. Хотя это не обязательно верно в целом, результатом Филиппа Холла и других является то, что каждая бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абелеву группу. Доказательство этого факта в теории бесконечных групп основывается на теореме Фейта-Томпсона о растворимости конечных групп нечетного порядка .
Locally finite groups satisfy a weaker form of Sylow's theorems. If a locally finite group has a finite p subgroup contained in no other p subgroups, then all maximal p subgroups are finite and conjugate. If there are finitely many conjugates, then the number of conjugates is congruent to 1 modulo p. In fact, if every countable subgroup of a locally finite group has only countably many maximal p subgroups, then every maximal p subgroup of the group is conjugate
The class of locally finite groups behaves somewhat similarly to the class of finite groups. Much of the 1960s theory of formations and Fitting classes, as well as the older 19th century and 1930s theory of Sylow subgroups has an analogue in the theory of locally finite groups
Similarly to the Burnside problem, mathematicians have wondered whether every infinite group contains an infinite abelian subgroup. While this need not be true in general, a result of Philip Hall and others is that every infinite locally finite group contains an infinite abelian group. The proof of this fact in infinite group theory relies upon the Feit–Thompson theorem on the solubility of finite groups of odd order .