Введение
В математике, теорема расширения Стинспринга, также называемая теоремой о факторизации Стинспринга, названной в честь В. Форреста Стинспринга, является результатом теории операторов, которая представляет любую полностью положительную карту на C* алгебре A как композицию из двух полностью положительных карт, каждая из которых имеет особую форму: A * представление A на некотором вспомогательном гильбертовом пространстве K, за которым следует операторная карта формы T V*TV. Более того, теорема Стинспринга является теоремой структуры из алгебры C* в алгебру ограниченных операторов на гильбертовом пространстве. Полностью положительные карты показываются как простые модификации * представлений, или иногда называемые * гомоморфизмами.
A * representation of A on some auxiliary Hilbert space K followed by
An operator map of the form T ↦ V*TV. Moreover, Stinespring's theorem is a structure theorem from a C* algebra into the algebra of bounded operators on a Hilbert space. Completely positive maps are shown to be simple modifications of * representations, or sometimes called * homomorphisms.
Схема доказательства
Теперь мы кратко очертим доказательство. Пусть For , определяет и расширяет полулинейностью все K. Это гермитово-сесквилинейная форма, потому что совместима с операцией * . Затем полная положительность используется для показания того, что эта сесквилинеарная форма на самом деле является положительной полуопределенной. Поскольку положительные полуопределенные гермитово-сесквилинарные формы удовлетворяют неравенству Коши-Шварца, подмножество является подпространством. Мы можем устранить вырождение, рассмотрев пространство-доля. Завершение этого пространства-доли является пространством Гильберта, также обозначенным как Next define, и можно проверить это и получить желаемые свойства. Заметьте, что это просто естественное алгебраическое встраивание H в K. Можно проверить, что это верно. В частности, считается, что это изометрия, если и только если В этом случае H может быть встроен, в смысле гильбертового пространства, в K и , действуя на K, становится проекцией на H. Символически, мы можем написать на языке теории расширения, то есть, что это сжатие Это, следовательно, следствие теоремы Стинеспринга о том, что каждая унитальная полностью положительная карта является сжатием некоторого * гомоморфизма.
and extend by semi linearity to all of K. This is a Hermitian sesquilinear form because is compatible with the * operation. Complete positivity of is then used to show that this sesquilinear form is in fact positive semidefinite. Since positive semidefinite Hermitian sesquilinear forms satisfy the Cauchy–Schwarz inequality, the subset
is a subspace. We can remove degeneracy by considering the quotient space The completion of this quotient space is then a Hilbert space, also denoted by Next define and One can check that and have the desired properties. Notice that is just the natural algebraic embedding of H into K. One can verify that holds. In particular holds so that is an isometry if and only if In this case H can be embedded, in the Hilbert space sense, into K and , acting on K, becomes the projection onto H. Symbolically, we can write
In the language of dilation theory, this is to say that is a compression of It is therefore a corollary of Stinespring's theorem that every unital completely positive map is the compression of some * homomorphism.
Некоторые последствия
Мы упоминаем несколько результатов, которые можно рассматривать как последствия теоремы Стинспринга. Исторически, некоторые из приведенных ниже результатов предшествовали теореме Стинспринга.
Строительство ГНС
Конструкция Gelfand Naimark Segal (GNS) выглядит следующим образом. Пусть H в теореме Стинспринга является одномерным, т.е. комплексными числами. Так что Φ теперь является положительным линейным функционалом на A. Если предположить, что Φ является состоянием, то есть, что Φ имеет норму 1, то изометрия определяется для некоторой единицы нормы. Итак, мы восстановили представление штатов GNS. Это один из способов увидеть, что полностью положительные карты, а не просто положительные, являются истинными обобщениями положительных функционалов. Линейный положительный функционал на алгебре С* абсолютно непрерывен по отношению к другому такому функционалу (называемому справочным функционалом), если он равен нулю на любом положительном элементе, на котором положительный справочный функционал равен нулю. Это приводит к некомутативному обобщению теоремы РадонаНикодима. Обычный оператор плотности состояний на матричных алгебрах по отношению к стандартному следу является не чем иным, как производной РадонаНикодима, когда эталонный функционал выбирается как след. Белавкин ввел понятие полной абсолютной непрерывности одной полностью положительной карты относительно другой (справочной) карты и доказал операторный вариант некомутативной теоремы Радона Никодима для полностью положительных карт. Особый случай этой теоремы, соответствующий трациальной полностью положительной справочной карте на матричных алгебрах, приводит к оператору Чой как производной РадонаНикодима от карты CP относительно стандартного следа (см. Теорема Чой).
for some of unit norm. So
and we have recovered the GNS representation of states. This is one way to see that completely positive maps, rather than merely positive ones, are the true generalizations of positive functionals. A linear positive functional on a C* algebra is absolutely continuous with respect to another such functional (called a reference functional) if it is zero on any positive element on which the reference positive functional is zero. This leads to a noncommutative generalization of the Radon–Nikodym theorem. The usual density operator of states on the matrix algebras with respect to the standard trace is nothing but the Radon–Nikodym derivative when the reference functional is chosen to be trace. Belavkin introduced the notion of complete absolute continuity of one completely positive map with respect to another (reference) map and proved an operator variant of the noncommutative Radon–Nikodym theorem for completely positive maps. A particular case of this theorem corresponding to a tracial completely positive reference map on the matrix algebras leads to the Choi operator as a Radon–Nikodym derivative of a CP map with respect to the standard trace (see Choi's Theorem).
Теорема о расширении Наймарка
Теорема Наймарка говорит, что каждая B ((H)) оцениваемая, слабо подсчитываемая аддитивная мера на некотором компактном пространстве Хаусдорфа X может быть "поднята", так что мера становится спектральной мерой. Это может быть доказано путем объединения факта, что C ((X) является коммутативной C* алгеброй и теоремой Стинспринга.
Теорема расширения Ш. Наги
Этот результат гласит, что каждое сокращение в пространстве Гильберта имеет унитарное расширение с свойством минимальности.
Применение
В теории квантовой информации квантовые каналы или квантовые операции определяются как полностью положительные карты между C*-алгебрами. Будучи классификацией для всех таких карт, теорема Стинспринга важна в этом контексте. Например, часть теоремы уникальности использовалась для классификации определенных классов квантовых каналов. Для сравнения различных каналов и вычисления их взаимной верности и информации полезно другое представление каналов их производными "РадонНикодим", введенное Белавкиным. В конечномерном случае теорема Чой как трациальный вариант теоремы Белавкина РадонаНикодима для полностью положительных карт также актуальна. Операторы из выражения называются операторами Крауса Φ. Выражение иногда называют оператором суммирования представления Φ.
are called the Kraus operators of Φ. The expression
is sometimes called the operator sum representation of Φ.