Введение
В математике, особенно в области абстрактной алгебры, известной как теория модулей, кольцо R называется наследственным, если все подмодули проективных модулей над R опять же являются проективными. Если это требуется только для конечно генерируемых подмодулей, это называется полунаследственным. Для некомутативного кольца R термины левый наследственный и левый полунаследственный и их версии справа используются для различения свойства на одной стороне кольца. Чтобы быть левым (полу) наследственным, все (окончательно сгенерированные) подмодули проективных левых R-модулей должны быть проективными, и аналогично, чтобы быть правым (полу) наследственным все (окончательно сгенерированные) подмодули проективных правых R-модулей должны быть проективными. Можно, чтобы кольцо было левым (полу) наследственным, но не правом (полу) наследственным и наоборот.
Эквивалентные определения
Кольцо R является левым (полу) наследственным, если и только если все (конечно сгенерированные) левые идеалы R являются проективными модулями. Кольцо R является наследственным, если и только если все левые модули имеют проекционные разрешения длины не более 1. Это эквивалентно утверждению, что левое глобальное измерение не больше 1. Отсюда и обычные производные функторы , такие как и , тривиальны для .
Примеры
Полупростые кольца являются левыми и правыми наследственными через эквивалентные определения: все левые и правые идеалы являются суммами R, и, следовательно, являются проективными. Аналогичным образом, в регулярном кольце фон Неймана каждый конечно сгенерированный левый и правый идеал является прямым сумматом R, и поэтому регулярные кольца фон Неймана являются левыми и правыми полунаследственными. Для любого ненулевого элемента x в области R, через карту Следовательно, в любой области, основной правый идеал свободен, следовательно, проективный. Это отражает тот факт, что домены являются правильными кольцами Рикарта. Из этого следует, что если R - это правое поле Безу, так что конечно сгенерированные правое идеалы являются основными, то R имеет все конечно сгенерированные правое идеалы проективными, и, следовательно, R является правой полунаследственной. Наконец, если R считается основной правой идеальной областью, то все правое идеалы являются проективными, а R - правой наследственной. Коммутативное наследственное интегральное домен называется доменом Дедекинда. Коммутативный полунаследственный интегральный домен называется доменом Пруфера. Важным примером (левого) наследственного кольца является алгебра пути колыбели. Это является следствием существования стандартного разрешения (который имеет длину 1) для модулей по алгебре пути. Кольцо треугольной матрицы является право-наследственным и лево-полунаследственным, но не лево-наследственным. Если S - это регулярное кольцо фон Неймана с идеалом I, которое не является прямым сумматом, то кольцо треугольной матрицы является левым полунаследственным, но не правым полунаследственным.
Свойства
Для левого наследственного кольца R, каждый подмодуль свободного левого модуля R изоморфен прямой сумме левых идеалов R и, следовательно, является проективным.