Введение
В дифференциальной геометрии лемма Маргулиса (названа в честь Григория Маргулиса) является результатом о дискретных подгруппах изометрий неположительно изогнутого римановского многообразия (например, гиперболического n пространства). В ней говорится, что в пределах фиксированного радиуса, обычно называемого константой Маргулиса, структура орбит такой группы не может быть слишком сложной. Точнее, в пределах этого радиуса вокруг точки все точки на ее орбите на самом деле находятся на орбите нильпотентной подгруппы (на самом деле ограниченное конечное число таких).
Районы Зассенхауса
Особенно изученное семейство примеров отрицательно изогнутых многообразий дано симметричными пространствами, связанными с полупростыми группами Ли. В этом случае лемме Маргулиса можно привести следующую, более алгебраическую формулировку, которая восходит к Гансу Зассенхаусу. Если есть полупростая группа Ли, существует соседство тождества в и такое, что любая дискретная подгруппа, которая генерируется, содержит нилпотентную подгруппу индекса. Такое соседство называется соседством Зассенхауса в If компактно. Эта теорема равносильна теореме Джордана о конечных линейных группах.
Such a neighbourhood is called a Zassenhaus neighbourhood in If is compact this theorem amounts to Jordan's theorem on finite linear groups.
Другие применения
Лемма Маргулиса является важным инструментом в изучении многообразий отрицательной кривизны. Кроме разложения толстого и тонкого, некоторые другие приложения: Лемма ошейника: это более точная версия описания компактных компонентов тонких частей. В ней говорится, что любая закрытая геодезия длины на гиперболической поверхности содержится в встроенном цилиндре диаметра порядка Лемма Маргулиса дает немедленное качественное решение проблемы минимального совокупного объема среди гиперболических многообразий: поскольку объем трубки Маргулиса может быть ограничен ниже постоянной, зависящей только от измерения, следует, что существует положительный минимум для объемов гиперболических многообразий n для любого n. Существование районов Зассенхауза является ключевым ингредиентом в доказательстве теоремы КажданаМаргулиса. Можно восстановить теорему Джордана Шура как следствие существования кварталов Зассенхауса.
The collar lemma: this is a more precise version of the description of the compact components of the thin parts. It states that any closed geodesic of length on an hyperbolic surface is contained in an embedded cylinder of diameter of order The Margulis lemma gives an immediate qualitative solution to the problem of minimal covolume among hyperbolic manifolds: since the volume of a Margulis tube can be seen to be bounded below by a constant depending only on the dimension, it follows that there exists a positive infimum to the volumes of hyperbolic n manifolds for any n.
The existence of Zassenhaus neighbourhoods is a key ingredient in the proof of the Kazhdan–Margulis theorem. One can recover the Jordan–Schur theorem as a corollary to the existence of Zassenhaus neighbourhoods.