Проблемы Гильберта: 23 математические задачи XX века

Введение

23 математические задачи, сформулированные в 1900 году. Проблемы Гильберта — это 23 задачи по математике, опубликованные немецким математиком Давидом Гильбертом в 1900 году. Все они оставались нерешенными на тот момент, и некоторые из них оказали значительное влияние на математику XX века. Гильберт представил десять задач (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 и 22) на Парижской конференции Международного математического конгресса, выступив 8 августа в Сорбонне. Полный список из 23 задач был опубликован позднее, в 1902 году, в переводе на английский язык Мэри Фрэнсис Уинстон Ньюсон в «Бюллетене Американского математического общества». Более ранние публикации (на оригинальном немецком языке) вышли в «Archiv der Mathematik und Physik».

Список проблем Гильберта

Ниже приведены заголовки 23 задач Гильберта, как они были представлены в переводе 1902 года в «Бюллетене Американского математического общества». Другие задачи, такие как 11-я и 16-я, касаются математических поддисциплин, которые в настоящее время активно развиваются, например, теорий квадратичных форм и вещественных алгебраических кривых. Есть две задачи, которые не только остаются нерешенными, но, возможно, и не могут быть решены по современным меркам. Шестая задача связана с аксиоматизацией физики, цель, которая, судя по развитию науки в XX веке, стала одновременно более отдаленной и менее значимой, чем во времена Гильберта. Кроме того, четвертая задача касается основ геометрии, сформулированной настолько расплывчато, что в настоящее время считается невозможным дать на нее однозначный ответ. Двадцать третья задача была намеренно сформулирована Гильбертом как общее указание, чтобы подчеркнуть важность исчисления вариаций как недостаточно оцененной и изученной области математики. В лекции, представляющей эти задачи, Гильберт сделал следующее вводное замечание относительно двадцать третьей задачи: «До сих пор я в основном упоминал задачи, насколько это возможно, конкретные и специальные, полагая, что именно такие задачи привлекают нас больше всего и оказывают наиболее длительное влияние на науку. Тем не менее, я хотел бы завершить общим вопросом, а именно указанием на область математики, неоднократно упоминавшуюся в этой лекции, которая, несмотря на значительный прогресс, достигнутый благодаря работам Вейерштрасса, не получает должной оценки, по моему мнению. Я имею в виду исчисление вариаций». Остальные 21 задача получили значительное внимание, и в конце XX века работа над ними по-прежнему считалась чрезвычайно важной. Пол Коэн получил Филдсовскую премию в 1966 году за работу над первой задачей, а отрицательное решение десятой задачи в 1970 году Юрием Матиясевичем (завершив работу Джулии Робинсон, Хилари Путнама и Мартина Дэвиса) вызвало аналогичное признание. Отдельные аспекты этих задач по-прежнему представляют большой интерес и сегодня.

The following are the headers for Hilbert's 23 problems as they appeared in the 1902 translation in the Bulletin of the American Mathematical Society. Still other problems, such as the 11th and the 16th, concern what are now flourishing mathematical subdisciplines, like the theories of quadratic forms and real algebraic curves. There are two problems that are not only unresolved but may in fact be unresolvable by modern standards. The 6th problem concerns the axiomatization of physics, a goal that 20th century developments seem to render both more remote and less important than in Hilbert's time. Also, the 4th problem concerns the foundations of geometry, in a manner that is now generally judged to be too vague to enable a definitive answer. The 23rd problem was purposefully set as a general indication by Hilbert to highlight the calculus of variations as an underappreciated and understudied field. In the lecture introducing these problems, Hilbert made the following introductory remark to the 23rd problem:

text="So far, I have generally mentioned problems as definite and special as possible, in the opinion that it is just such definite and special problems that attract us the most and from which the most lasting influence is often exerted upon science. Nevertheless, I should like to close with a general problem, namely with the indication of a branch of mathematics repeatedly mentioned in this lecture—which, in spite of the considerable advancement lately given it by Weierstrass, does not receive the general appreciation which, in my opinion, is its due—I mean the calculus of variations." The other 21 problems have all received significant attention, and late into the 20th century work on these problems was still considered to be of the greatest importance. Paul Cohen received the Fields Medal in 1966 for his work on the first problem, and the negative solution of the tenth problem in 1970 by Yuri Matiyasevich (completing work by Julia Robinson, Hilary Putnam, and Martin Davis) generated similar acclaim. Aspects of these problems are still of great interest today.

Незнакомец

После Готлоба Фреге и Бертрана Рассела, Гильберт стремился определить математику логически, используя метод формальных систем, то есть финитистских доказательств из согласованного набора аксиом. Одной из главных целей программы Гильберта было финитистское доказательство непротиворечивости аксиом арифметики: это его вторая проблема. См. Нагель и Ньюман, пересмотренные Хофштадтером (2001, с. 107), примечание 37: «Кроме того, хотя большинство специалистов по математической логике не сомневаются в убедительности доказательства [Генцена], оно не является финитистским в смысле первоначальных условий Гильберта для абсолютного доказательства непротиворечивости». См. также следующую страницу: «Но эти доказательства [Генцена и др.] не могут быть отражены внутри систем, которые они касаются, и, поскольку они не являются финитистскими, они не достигают провозглашенных целей первоначальной программы Гильберта». Хофштадтер немного переписал оригинальную (1958) сноску, изменив слово «студенты» на «специалистов по математической логике». И этот момент обсуждается снова на странице 109. Рид отмечает, что в двух статьях в 1931 году Гильберт предложил другую форму индукции, названную «бесконечной индукцией» (с. 199). Он заявил, что важно знать, так или иначе, каково решение, и он считал, что мы всегда можем это знать, что в математике нет никакого «ignorabimus» (утверждения, истинность которого никогда не может быть установлена). Неясно, рассматривал ли он решение десятой задачи как пример ignorabimus: то, что доказано несуществующим, – это не целочисленное решение, а (в определенном смысле) способность определенным образом установить, существует ли решение. С другой стороны, статус первой и второй задач еще более сложен: нет четкого математического консенсуса относительно того, дают ли результаты Гёделя (в случае второй задачи) или Гёделя и Коэна (в случае первой задачи) окончательные отрицательные решения или нет, поскольку эти решения применимы к определенной формализации задач, которая не обязательно является единственно возможной. Нагель, Ньюман и Хофштадтер обсуждают этот вопрос: «Возможность построения финитистского абсолютного доказательства непротиворечивости для формальной системы, такой как Principia Mathematica, не исключается результатами Гёделя. Его аргумент не исключает возможности… Но сегодня, похоже, никто не имеет четкого представления о том, как могло бы выглядеть финитистское доказательство, которое не могло бы быть отражено в Principia Mathematica (примечание 39, страница 109). Авторы заключают, что такая перспектива «крайне маловероятна».

Following Gottlob Frege and Bertrand Russell, Hilbert sought to define mathematics logically using the method of formal systems, i. e., finitistic proofs from an agreed upon set of axioms. One of the main goals of Hilbert's program was a finitistic proof of the consistency of the axioms of arithmetic: that is his second problem. refn|group=lower alpha|See Nagel and Newman revised by Hofstadter (2001, p. 107), footnote 37: "Moreover, although most specialists in mathematical logic do not question the cogency of [Gentzen's] proof, it is not finitistic in the sense of Hilbert's original stipulations for an absolute proof of consistency." Also see next page: "But these proofs [Gentzen's et al.] cannot be mirrored inside the systems that they concern, and, since they are not finitistic, they do not achieve the proclaimed objectives of Hilbert's original program." Hofstadter rewrote the original (1958) footnote slightly, changing the word "students" to "specialists in mathematical logic". And this point is discussed again on page 109 Reid notes that in two papers in 1931 Hilbert proposed a different form of induction called "unendliche Induktion" (p. 199). He stated that the point is to know one way or the other what the solution is, and he believed that we always can know this, that in mathematics there is not any "ignorabimus" (statement whose truth can never be known). It seems unclear whether he would have regarded the solution of the tenth problem as an instance of ignorabimus: what is proved not to exist is not the integer solution, but (in a certain sense) the ability to discern in a specific way whether a solution exists. On the other hand, the status of the first and second problems is even more complicated: there is no clear mathematical consensus as to whether the results of Gödel (in the case of the second problem), or Gödel and Cohen (in the case of the first problem) give definitive negative solutions or not, since these solutions apply to a certain formalization of the problems, which is not necessarily the only possible one. refn|group=lower alpha|Nagel, Newman and Hofstadter discuss this issue: "The possibility of constructing a finitistic absolute proof of consistency for a formal system such as Principia Mathematica is not excluded by Gödel's results. His argument does not eliminate the possibility But no one today appears to have a clear idea of what a finitistic proof would be like that is not capable of being mirrored inside Principia Mathematica (footnote 39, page 109). The authors conclude that the prospect "is most unlikely".

Продолжения

С 1900 года математики и математические организации объявляли списки проблем, но, за редкими исключениями, они не оказали такого влияния и не породили столько работ, как проблемы Гильберта. Одним из таких исключений являются три гипотезы, выдвинутые Андре Вейлем в конце 1940-х годов (гипотезы Вейля). В областях алгебраической геометрии, теории чисел и связей между ними гипотезы Вейля имели большое значение. Первую из них доказал Бернар Дворк; совершенно иное доказательство первых двух, с использованием ℓ-адической когомологии, было предложено Александром Гротендиком. Последняя и самая глубокая из гипотез Вейля (аналог гипотезы Римана) была доказана Пьером Делинем. И Гротендик, и Делинь были удостоены медали Филдса. Однако по своему масштабу гипотезы Вейля скорее напоминали одну проблему Гильберта, и Вейль никогда не рассматривал их как программу для всей математики. Это несколько иронично, поскольку, возможно, Вейль был математиком 1940-х и 1950-х годов, который лучше всего воплощал роль Гильберта, будучи знакомым практически со всеми областями (теоретической) математики и сыгравшим важную роль в развитии многих из них. Пол Эрдеш сформулировал сотни, если не тысячи математических проблем, многие из которых были глубокими. Эрдеш часто предлагал денежные вознаграждения, размер которых зависел от предполагаемой сложности проблемы. Конец тысячелетия, ознаменовавший также столетие со дня объявления проблем Гильбертом, предоставил естественную возможность предложить «новый набор проблем Гильберта». Несколько математиков приняли этот вызов, в частности, медалист Филдса Стив Смейл, который откликнулся на просьбу Владимира Арнольда составить список из 18 проблем. По крайней мере, в основных средствах массовой информации, фактическим аналогом проблем Гильберта в XXI веке является список семи проблем тысячелетия, выбранных в 2000 году Институтом математики Клэя. В отличие от проблем Гильберта, где главной наградой было восхищение Гильбертом и математиками в целом, за решение каждой из этих проблем предусмотрен денежный приз в размере миллиона долларов. Как и в случае с проблемами Гильберта, одна из призовых проблем (гипотеза Пуанкаре) была решена относительно вскоре после их объявления. Гипотеза Римана примечательна тем, что она фигурирует в списке проблем Гильберта, списке Смаля, списке проблем тысячелетия и даже в гипотезах Вейля, в ее геометрической формулировке. Несмотря на то, что ее пытались решить ведущие математики современности, многие эксперты полагают, что она останется в списках нерешенных задач еще на протяжении многих веков. Сам Гильберт утверждал: «Если бы я проснулся после тысячелетнего сна, мой первый вопрос был бы: доказана ли гипотеза Римана?» В 2008 году DARPA опубликовала свой собственный список из 23 проблем, решение которых, как она надеялась, могло бы привести к значительным математическим прорывам, «тем самым укрепляя научно-технический потенциал Министерства обороны». Список DARPA также включает несколько проблем из списка Гильберта, например, гипотезу Римана.

Since 1900, mathematicians and mathematical organizations have announced problem lists but, with few exceptions, these have not had nearly as much influence nor generated as much work as Hilbert's problems. One exception consists of three conjectures made by André Weil in the late 1940s (the Weil conjectures). In the fields of algebraic geometry, number theory and the links between the two, the Weil conjectures were very important. The first of these was proved by Bernard Dwork; a completely different proof of the first two, via ℓ adic cohomology, was given by Alexander Grothendieck. The last and deepest of the Weil conjectures (an analogue of the Riemann hypothesis) was proved by Pierre Deligne. Both Grothendieck and Deligne were awarded the Fields medal. However, the Weil conjectures were, in their scope, more like a single Hilbert problem, and Weil never intended them as a programme for all mathematics. This is somewhat ironic, since arguably Weil was the mathematician of the 1940s and 1950s who best played the Hilbert role, being conversant with nearly all areas of (theoretical) mathematics and having figured importantly in the development of many of them. Paul Erdős posed hundreds, if not thousands, of mathematical problems, many of them profound. Erdős often offered monetary rewards; the size of the reward depended on the perceived difficulty of the problem. The end of the millennium, which was also the centennial of Hilbert's announcement of his problems, provided a natural occasion to propose "a new set of Hilbert problems". Several mathematicians accepted the challenge, notably Fields Medalist Steve Smale, who responded to a request by Vladimir Arnold to propose a list of 18 problems. At least in the mainstream media, the de facto 21st century analogue of Hilbert's problems is the list of seven Millennium Prize Problems chosen during 2000 by the Clay Mathematics Institute. Unlike the Hilbert problems, where the primary award was the admiration of Hilbert in particular and mathematicians in general, each prize problem includes a million dollar bounty. As with the Hilbert problems, one of the prize problems (the Poincaré conjecture) was solved relatively soon after the problems were announced. The Riemann hypothesis is noteworthy for its appearance on the list of Hilbert problems, Smale's list, the list of Millennium Prize Problems, and even the Weil conjectures, in its geometric guise. Although it has been attacked by major mathematicians of our day, many experts believe that it will still be part of unsolved problems lists for many centuries. Hilbert himself declared: "If I were to awaken after having slept for a thousand years, my first question would be: Has the Riemann hypothesis been proved?" In 2008, DARPA announced its own list of 23 problems that it hoped could lead to major mathematical breakthroughs, "thereby strengthening the scientific and technological capabilities of the DoD". The DARPA list also includes a few problems from Hilbert's list, e. g. the Riemann hypothesis.

Резюме

Из чётко сформулированных проблем Гильберта решения для номеров 3, 7, 10, 14, 17, 18, 19 и 20 общепризнаны математическим сообществом. В то же время, для проблем 1, 2, 5, 6, 9, 11, 12, 15, 21 и 22 существуют решения, которые получили частичное признание, однако остаётся дискуссия относительно того, действительно ли они решают эти проблемы. Таким образом, проблемы 8 (гипотеза Римана), 13 и 16 остаются нерешёнными, а 4 и 23 сформулированы слишком неясно, чтобы их можно было когда-либо считать решёнными. Отклонённая проблема 24 также относится к этой категории. Проблема номер 6 рассматривается скорее как задача физики, чем математики.