Введение

Изоморфизм коммутативных колец, построенный в теории алгебр Ли. В математике изоморфизм Хариша Чандры, представленный в теории алгебр Ли, является изоморфизмом коммутативных колец, построенных в теории алгебр Ли. Изоморфизм отображает центр универсальной окружающей алгебры редуктивной алгебры Ли к элементам симметричной алгебры картанской субальгебры , которые инвариантны при группе Вейла .

Введение и конфигурация

Пусть это полупростая алгебра Ли, ее субальгебра Картана и два элемента весового пространства (где двойственность) и предположим, что множество положительных корней было зафиксировано. Let и be - модули с наибольшим весом и наибольшими весами соответственно.

Центральные персонажи

Модули и представляют собой представления универсальной обволакивающей алгебры, и ее центр действует на модули путем скалярного умножения (это следует из того, что модули генерируются вектором наивысшего веса). Так, для и , и аналогично для , где функции являются гомоморфизмами от к скалярам называются центральными символами.

Заявление теоремы Хариша-Чандры

Для любого , символы if и only if и находятся на одной орбите группы Вейла , где полусумма положительных корней, иногда известная как вектор Вейла. Другая близко связанная формулировка состоит в том, что гомоморфизм Хариша Чандры от центра универсальной обволакивающей алгебры до (элементов симметричной алгебры картанской субальгебры, зафиксированной группой Вейла) является изоморфизмом.

Приложения

Теорема была использована для получения простого алгебраического доказательства формулы характера Вейла для конечных неснижаемых представлений. Доказательство было упрощено Виктором Каком, так что требуется только квадратный оператор Казимира; есть соответствующее упрощенное доказательство обработки формулы символа во втором издании Далее, это необходимое условие для существования ненулевого гомоморфизма некоторых модулей наивысшего веса (гомоморфизм таких модулей сохраняет центральный характер). Простым следствием является то, что для модулей Вермы или обобщенных модулей Вермы с наибольшим весом существует только конечное количество весов, для которых существует ненулевой гомоморфизм.

Основные инварианты

Для простой алгебры Ли, пусть будет ее рангом, то есть измерением любой субальгебры Картана Х. С. М. Коксетера, которая изоморфна полиномиальной алгебре в переменных (см. теорему Шевалье-Шепарда-Тодда для более общего утверждения). Поэтому центр универсальной обволакивающей алгебры простой алгебры Ли изоморфен полиномиальной алгебре. Степени генераторов алгебры - это степени фундаментальных инвариантов, приведенные в следующей таблице. Алгебра Лей Коксетера h Двойной Коксетера число Степень фундаментальных инвариантов R 0 0 1 An n + 1 n + 1 2, 3, 4, , n + 1 Bn 2n 2n 2n − 1 2, 4, 6, , 2n Cn 2n n + 1 2, 4, 6, , 2n Dn 2n − 2 2 2n − 2 n; 2, 4, 6, , 2n − 2 E6 12 2, 5, 6, 8, 9, 12 E7 18 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 E8 30 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 F4 12 9 2, 8, 6, 12 G2 6 4 2, 6 Количество фундаментальных инвариантов Лей группы равно ее рангу. Фундаментальные инварианты также связаны с кохомологическим кольцом группы Ли. В частности, если фундаментальные инварианты имеют степень , то генераторы кохомологического кольца имеют степень. Из-за этого степень фундаментальных инвариантов можно рассчитать из чисел Бетти группы Ли и наоборот. В другом направлении фундаментальные инварианты связаны с кохомологией классифицирующего пространства. Кохомологическое кольцо изоморфно полиномиальной алгебре на генераторах с степенями .

Примеры

Если это алгебра Ли, то центр универсальной окружающей алгебры генерируется инвариантом Казимира степени 2, а группа Вейла действует на субальгебру Картана, которая изоморфна к , путем отрицания, поэтому инвариант группы Вейла является квадратом генератора субальгебры Картана, которая также имеет степень 2. Ибо , по словам И.Х. Чандры , изоморфизм изоморфен полиномиальной алгебре инвариантных многочленов Вейла в двух переменных (поскольку субальгебра Картана двумерна). Для , группа Вейла действует на CSA в стандартном представлении. Поскольку группа Вейла действует посредством отражений, они являются изометриями, и поэтому многочлен 2-й степени является инвариантом Вейла. Контуры инвариантного многочлена Вейла 3-й степени (для конкретного выбора стандартного представления, где одно из отражений находится через ось х) показаны ниже. Эти два полинома генерируют полиномиальную алгебру и являются фундаментальными инвариантами для всех алгебр Ли в классификации, существует фундаментальный инвариант степени 2, квадратный Казимир. В изоморфизме они соответствуют многочлену степени 2 на CSA. Поскольку группа Вейла действует посредством отражений на ССА, они являются изометриями, поэтому инвариантный полином 2-й степени - это где - размерность ССА, также известная как ранг алгебры Ли. Для , субальгебра Картана является одномерной, а изоморфизм Хариша Чандры говорит, что она изоморфна с алгеброй инвариантных многочленов Вейла в одной переменной. Группа Вейла действует как отражение, с нетривиальным элементом, действующим на многочлены. Субальгебра инвариантных многочленов Вейла в полной полиномиальной алгебре, следовательно, является только четными многочленами, генерируемыми For , группа Вейла , действуя на две координаты , и генерируется (не минимально) четырьмя отражениями, которые действуют на координаты, как Любой инвариантный квартик должен быть четным в обоих и , и инвариантность при обмене координатами означает, что любой инвариантный квартик может быть записан Несмотря на то, что это двумерное векторное пространство, это способствует только одному новому фундаментальному инварианту, как лежит в пространстве. В этом случае нет уникального выбора четвертого инварианта, поскольку достаточно любого многочлена с нулем (а не с обоими нулями).