Введение
Соотносит 2 эллиптических оператора второго порядка на многообразии с одним и тем же основным символом В математике, в частности в дифференциальной геометрии, математической физике и теории представлений, тождество Вайтценбока, названное в честь Роланда Вайтценбока, выражает связь между двумя эллиптическими операторами второго порядка на многообразии с одним и тем же основным символом. Обычно формулы Вейценбок применяются для G-инвариантных самососедствующих операторов между векторными пучками, связанными с каким-либо основным G-пучком, хотя точные условия, при которых существует такая формула, трудно сформулировать. В этой статье рассматриваются три примера идентичностей Вайтценбок: из римановской геометрии, спиновой геометрии и комплексного анализа.
In mathematics, in particular in differential geometry, mathematical physics, and representation theory a Weitzenböck identity, named after Roland Weitzenböck, expresses a relationship between two second order elliptic operators on a manifold with the same principal symbol. Usually Weitzenböck formulae are implemented for G invariant self adjoint operators between vector bundles associated to some principal G bundle, although the precise conditions under which such a formula exists are difficult to formulate. This article focuses on three examples of Weitzenböck identities: from Riemannian geometry, spin geometry, and complex analysis.
Геометрия спина
Если M - ориентированный спиновый многообразный с оператором Дирака ð, то можно сформировать спиновый лаплацианский Δ = ð2 на спиновом пучке. С другой стороны, соединение Леви Цивита распространяется на спиновый пучок, чтобы получить дифференциальный оператор. Как и в случае римановских многообразий, let Это еще один самодополняющийся оператор и, кроме того, имеет тот же ведущий символ, что и спиновый лаплацианский. Формула Вейценбок дает: где Sc - скалярная кривизна. Этот результат также известен как формула Лихнеровича.
As in the case of Riemannian manifolds, let This is another self adjoint operator and, moreover, has the same leading symbol as the spin Laplacian. The Weitzenböck formula yields:
where Sc is the scalar curvature. This result is also known as the Lichnerowicz formula.
Другие идентичности Вайтценбёка
В конформальной геометрии существует формула Вайтценбок, относящаяся к определенной паре дифференциальных операторов, определенных на тракторной пучке. См. Брэнсон, Т. и Гевэр, А. Р., "Конформно инвариантные операторы, дифференциальные формы, кохомология и обобщение кривой Q", Коммуникации в частичных дифференциальных уравнениях, 30 (2005) 16111669.