Введение

Перпендикулярный отрезок от стороны треугольника к противоположной вершине.

В геометрии высота треугольника — это отрезок, проходящий через вершину и перпендикулярный прямой, содержащей противоположную сторону. Эта прямая, содержащая противоположную сторону, называется продолженной основой высоты. Точка пересечения продолженной основы и высоты называется основанием высоты. Длина высоты, часто называемая просто «высотой», представляет собой расстояние между продолженной основой и вершиной. Процесс проведения высоты от вершины к основанию называется проведением высоты из этой вершины. Это частный случай ортогональной проекции. Высоты могут использоваться для вычисления площади треугольника: половина произведения длины высоты и длины её основания равна площади треугольника. Следовательно, самая длинная высота перпендикулярна самой короткой стороне треугольника. Высоты также связаны со сторонами треугольника через тригонометрические функции. В равнобедренном треугольнике (треугольнике с двумя равными сторонами) высота, основанием которой является не равная сторона, имеет середину этой стороны в качестве основания. Также высота, основанием которой является не равная сторона, является биссектрисой угла при вершине. Обычно высоту обозначают буквой h (как в высоте), часто с индексом, указывающим сторону, к которой проведена высота. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе c, делит гипотенузу на два отрезка длиной p и q. Если мы обозначим длину высоты через h, то получим соотношение (теорема о среднем геометрическом; см. Особые случаи, обратная теорема Пифагора).

Для остроугольных треугольников основания высот все лежат на сторонах треугольника (не на продолжениях). В тупоугольном треугольнике (треугольнике с тупым углом) основание высоты, проведенной к тупому углу, лежит внутри противоположной стороны, но основания высот, проведенных к острым углам, лежат на продолжениях противоположных сторон, вне треугольника. Это показано на прилегающем рисунке: в этом тупоугольном треугольнике высота, опущенная перпендикулярно от верхней вершины, которая является острым углом, пересекает продолжение горизонтальной стороны за пределами треугольника.

Равносторонний треугольник

Из любой точки P внутри равностороннего треугольника сумма перпендикуляров, опущенных на три стороны, равна высоте треугольника. Это теорема Вивиани.

История

Теорема о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке (в ортоцентре), не сформулирована явно в сохранившихся греческих математических текстах, но используется в «Книге Лемм» (предложение 5), приписываемой Архимеду (III век до н.э.), со ссылкой на «комментарий к трактату о прямоугольных треугольниках» – работу, которая не дошла до нас. Она также упоминается Паппом (Математический сборник, VII, 62; 340). Теорема была сформулирована и доказана аль-Насави в его комментарии к «Книге Лемм» (XI век) и приписана аль-Кухи. Это арабское доказательство было переведено как часть (ранних XVII века) латинских изданий «Книги Лемм», но не получило широкой известности в Европе, поэтому теорема была доказана несколько раз в XVII–XIX веках. Самуэль Маролуа доказал её в своей «Геометрии» (1619), а Исаак Ньютон – в неоконченном трактате «Геометрия кривых линий» (1680). Особенно элегантное доказательство принадлежит Франсуа-Жозефу Сервуа (1804) и независимо от него Карлу Фридриху Гауссу (1810): проведите через противоположную вершину каждую сторону треугольника линию, параллельную этой стороне, и постройте новый треугольник, образованный точками пересечения этих трех линий. Тогда исходный треугольник является средним треугольником нового треугольника, а высоты исходного треугольника являются перпендикулярными биссектрисами сторон нового треугольника и, следовательно, пересекаются в одной точке (в центре описанной окружности нового треугольника).