Кіріспе
Үшбұрыштың қабырғасынан қарама-қарсы төбесіне перпендикуляр түзу кесіндісі. Геометрияда үшбұрыштың биіктігі – бұл төбесінен өтетін және үшбұрыштың төбесіне қарама-қарсы жатқан қабырғаға перпендикуляр түзу кесіндісі. Осы қарама-қарсы жақты қамтитын түзу биіктіктің кеңейтілген табаны деп аталады. Кеңейтілген табан мен биіктіктің қиылыс нүктесі биіктіктің табаны деп аталады. Биіктіктің ұзындығы, көбінесе жай ғана "биіктік" деп аталады, кеңейтілген табан мен төбе арасындағы қашықтық. Төбеден табанға биіктік түсіру процесі сол төбеге биіктік түсіру деп аталады. Бұл ортогональды проекцияның ерекше жағдайы. Биіктіктерді үшбұрыштың ауданын есептеу үшін пайдалануға болады: биіктіктің ұзындығы мен оның табанының ұзындығының жартысы үшбұрыштың ауданына тең. Осылайша, ең ұзын биіктік үшбұрыштың ең қысқа қабырғасына перпендикуляр болады. Биіктіктер тригонометриялық функциялар арқылы үшбұрыштың қабырғаларымен де байланысты. Теңқабырғалы үшбұрышта (екі қабырғасы тең үшбұрыш) тең емес қабырғасы табан болатын биіктіктің табаны сол қабырғаның ортасы болады. Сондай-ақ, тең емес қабырғасы табан болатын биіктік төбе бұрышының биссектрисасы болады. Биіктікті h әрпімен белгілеу жиі қолданылады (биіктік сияқты), көбінесе биіктік түсірілген қабырғаның атымен жазылады. Тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаға c биіктігі гипотенузаны p және q ұзындығындағы екі кесіндіге бөледі. Егер биіктіктің ұзындығын деп белгілесек, онда келесі қатынас орындалады: (геометриялық орташа теоремасы; Арнайы жағдайлар, кері Пифагор теоремасы қараңыз). Сүйір үшбұрыштар үшін биіктіктердің табандары үшбұрыштың қабырғаларына түседі (ұзартылмаған). Доғал үшбұрышта (доғал бұрышы бар) доғал бұрышты төбеге түсірілген биіктіктің табаны қарсы қабырғаның ішкі жағына түседі, бірақ сүйір бұрышты төбелерге түсірілген биіктіктердің табандары қарсы қабырғаға, үшбұрыштың сыртына түседі. Бұл көрнекі суретте көрсетілген: бұл доғал үшбұрышта, сүйір бұрышы бар жоғарғы төбеден перпендикуляр түсірілген биіктік үшбұрыштың сыртындағы кеңейтілген көлденең қабырғаны қиып өтеді.
In geometry, an altitude of a triangle is a line segment through a vertex and perpendicular to a line containing the side opposite the vertex. This line containing the opposite side is called the extended base of the altitude. The intersection of the extended base and the altitude is called the foot of the altitude. The length of the altitude, often simply called "the altitude", is the distance between the extended base and the vertex. The process of drawing the altitude from the vertex to the foot is known as dropping the altitude at that vertex. It is a special case of orthogonal projection. Altitudes can be used in the computation of the area of a triangle: one half of the product of an altitude's length and its base's length equals the triangle's area. Thus, the longest altitude is perpendicular to the shortest side of the triangle. The altitudes are also related to the sides of the triangle through the trigonometric functions. In an isosceles triangle (a triangle with two congruent sides), the altitude having the incongruent side as its base will have the midpoint of that side as its foot. Also the altitude having the incongruent side as its base will be the angle bisector of the vertex angle. It is common to mark the altitude with the letter h (as in height), often subscripted with the name of the side the altitude is drawn to. In a right triangle, the altitude drawn to the hypotenuse c divides the hypotenuse into two segments of lengths p and q. If we denote the length of the altitude by , we then have the relation
(Geometric mean theorem; see Special Cases, inverse Pythagorean theorem)
For acute triangles, the feet of the altitudes all fall on the triangle's sides (not extended). In an obtuse triangle (one with an obtuse angle), the foot of the altitude to the obtuse angled vertex falls in the interior of the opposite side, but the feet of the altitudes to the acute angled vertices fall on the opposite extended side, exterior to the triangle. This is illustrated in the adjacent diagram: in this obtuse triangle, an altitude dropped perpendicularly from the top vertex, which has an acute angle, intersects the extended horizontal side outside the triangle.
Теңбұрышты үшбұрыш
Теңқабырлы үшбұрыштың ішіндегі кез келген P нүктесінен үш қабырғасына түсірілген перпендикулярлардың қосындысы үшбұрыштың биіктігіне тең. Бұл Вивиани теоремасы.
Тарих
Үшбұрыштың үш биіктігі (ортоортада) түйісетін теорема грек математикалық мәтіндерінде тікелей айтылмаған, бірақ Архимедке (б.з.д. III ғасыр) жатқызылатын «Лемма кітабының» (5-нақыл) қолданылған, «тікбұрышты үшбұрыштар туралы трактатқа түсініктеме» деген жұмысты сілтеме жасайды, аталған жұмысқа қазір дейін қол жетпеген. Бұл теореманы Паппус та («Математикалық жинақ», VII, 62; 340) атаған. Теореманы әл Насауи (11 ғасыр) «Лемма кітабына» жазған түсініктемесінде нақты айтып, дәлелдеген және оны әл Кухиге жатқызған. Бұл араб тіліндегі дәлелдеме «Лемма кітабының» (17 ғасырдың басында) латын тіліндегі басылымдарының бір бөлігі ретінде аударылды, бірақ Еуропада кеңінен танымал болмады, сондықтан теорема 17-19 ғасырларда бірнеше рет дәлелденді. Самуэль Маролуа өзінің «Геометрия» еңбегінде (1619), ал Исаак Ньютон аяқталмаған «Иілген сызықтардың геометриясы» трактатында (1680) дәлелдеді. Франсуа Жозеф Сервуа (1804) және Карл Фридрих Гаусс (1810) ерекше әдемі дәлел ұсынды: үшбұрыштың әр қабырғасына қарама-қарсы нүкте арқылы параллель түзулер жүргізіп, осы үш түзудің қиылыс нүктелерінен жаңа үшбұрыш құрастырыңыз. Содан кейін бастапқы үшбұрыш жаңа үшбұрыштың орта үшбұрышы болады, ал бастапқы үшбұрыштың биіктіктері жаңа үшбұрыштың перпендикуляр биссектрисалары болып табылады, сондықтан олар түйіседі (жаңа үшбұрыштың ортасында).
This proof in Arabic was translated as part of the (early 17th century) Latin editions of the Book of Lemmas, but was not widely known in Europe, and the theorem was therefore proven several more times in the 17th–19th century. Samuel Marolois proved it in his Geometrie (1619), and Isaac Newton proved it in an unfinished treatise Geometry of Curved Lines nobr|( 1680). A particularly elegant proof is due to François Joseph Servois (1804) and independently Carl Friedrich Gauss (1810): Draw a line parallel to each side of the triangle through the opposite point, and form a new triangle from the intersections of these three lines. Then the original triangle is the medial triangle of the new triangle, and the altitudes of the original triangle are the perpendicular bisectors of the new triangle, and therefore concur (at the circumcenter of the new triangle).