Введение
Круг, построенный на треугольнике
В геометрии девятиточечный круг — это круг, который можно построить для любого заданного треугольника. Он получил свое название, поскольку проходит через девять значимых конциклических точек, определенных на основе треугольника. Эти девять точек:
Середина каждой стороны треугольника.
Основание каждой высоты.
Середина отрезка, соединяющего каждую вершину треугольника с ортоцентром (точкой пересечения трех высот; эти отрезки лежат на соответствующих высотах). Девятиточечный круг также известен как круг Фейербаха (в честь Карла Вильгельма Фейербаха), круг Эйлера (в честь Леонарда Эйлера), круг Теркема (в честь Ольри Теркема), круг шести точек, круг двенадцати точек, n-точечный круг, средневписанная окружность, средний круг или описанная окружность середины. Его центр — это девятиточечный центр треугольника.
The foot of each altitude
The midpoint of the line segment from each vertex of the triangle to the orthocenter (where the three altitudes meet; these line segments lie on their respective altitudes). The nine point circle is also known as Feuerbach's circle (after Karl Wilhelm Feuerbach), Euler's circle (after Leonhard Euler), Terquem's circle (after Olry Terquem), the six points circle, the twelve points circle, the n point circle, the medioscribed circle, the mid circle or the circum midcircle. Its center is the nine point center of the triangle.
Девять важных моментов
На приведенной диаграмме показаны девять значимых точек круга девяти точек. Точки D, E, F – середины трех сторон треугольника. Точки G, H, I – основания высот треугольника. Точки J, K, L – середины отрезков, соединяющих вершины треугольника (точки A, B, C) с ортоцентром треугольника (точка S). В остроугольном треугольнике шесть точек (середины сторон и основания высот) лежат на самом треугольнике; в тупоугольном треугольнике основания двух высот находятся вне треугольника, но эти основания все равно принадлежат кругу девяти точек.
Открытие
Хотя ему приписывают открытие, Карл Вильгельм Фейербах не открыл девятиточечный круг полностью, а скорее шеститочечный, отметив важность середин сторон треугольника и оснований его высот. (См. рис. 1, точки D, E, F, G, H, I.) (Чуть ранее Шарль Брайаншон и Жан Виктор Понселе сформулировали и доказали ту же теорему.) Однако вскоре после Фейербаха математик Ольри Теркем сам доказал существование этого круга. Он первым осознал дополнительную значимость трех середин отрезков, соединяющих вершины треугольника с ортоцентром. (См. рис. 1, точки J, K, L.) Таким образом, Теркем впервые использовал название «девятиточечный круг».
Тангентные круги
В 1822 году Карл Фейербах обнаружил, что девятиточечная окружность любого треугольника внешне касается трех внеокружностей этого треугольника и внутренне касается его вписанной окружности; этот результат известен как теорема Фейербаха. Он доказал, что окружность, проходящая через основания высот треугольника, касается всех четырех окружностей, которые, в свою очередь, касаются трех сторон треугольника. Точка, в которой вписанная окружность и девятиточечная окружность касаются друг друга, называется точкой Фейербаха.
The triangle center at which the incircle and the nine point circle touch is called the Feuerbach point.
Обобщение
Круг является примером конического сечения, а девятиточечная окружность — примером общего девятиточечного конического сечения, построенного относительно треугольника △ABC и четвертой точки P, причём частный случай девятиточечной окружности возникает, когда P является ортоцентром △ABC. Вершины треугольника и точка P определяют полный четырехугольник и три "точки пересечения сторон", где пересекаются противоположные стороны четырехугольника. В этом четырехугольнике шесть "сторон"; девятиточечный конический сечение пересекает середины этих сторон и также включает в себя точки пересечения сторон. Коническое сечение является эллипсом, когда точка P находится внутри треугольника △ABC или в области, имеющей общие вертикальные углы с треугольником, но возникает девятиточечная гипербола, когда точка P находится в одной из трех прилежащих областей, причём гипербола является прямоугольной, когда точка P лежит на описанной окружности треугольника △ABC.