Кіріспе
Үшбұрышқа сызылған шеңбер
Геометрияда тоғыз нүктелі шеңбер – кез келген үшбұрыш үшін сызылатын шеңбер. Ол осылай аталуының себебі, үшбұрыштан анықталатын тоғыз маңызды бір шеңберде жатқан нүкте арқылы өтеді. Бұл тоғыз нүкте:
Үшбұрыштың әр қабырғасының ортасы
Әр биіктіктің табаны
Үшбұрыштың әр төбесінен ортоцентрге (үш биіктік кездесетін нүкте) дейінгі сызық кесіндісінің ортасы (бұл сызық кесінділері тиісті биіктіктерінде жатады). Тоғыз нүктелі шеңбер Фейербах шеңбері (Карл Вильгельм Фейербахтың атымен), Эйлер шеңбері (Леонхард Эйлердің атымен), Теркем шеңбері (Олри Теркемнің атымен), алты нүктелі шеңбер, он екі нүктелі шеңбер, n нүктелі шеңбер, ортасымен сызылған шеңбер, орта шеңбер немесе орталық шеңбер деп те аталады. Оның орталығы – үшбұрыштың тоғыз нүктелі орталығы.
The foot of each altitude
The midpoint of the line segment from each vertex of the triangle to the orthocenter (where the three altitudes meet; these line segments lie on their respective altitudes). The nine point circle is also known as Feuerbach's circle (after Karl Wilhelm Feuerbach), Euler's circle (after Leonhard Euler), Terquem's circle (after Olry Terquem), the six points circle, the twelve points circle, the n point circle, the medioscribed circle, the mid circle or the circum midcircle. Its center is the nine point center of the triangle.
Тоғыз маңызды тармақ
Жоғарыдағы диаграмма тоғыз нүктелі шеңбердің тоғыз маңызды нүктесін көрсетеді. D, E, F нүктелері үшбұрыштың үш қабырғасының орта нүктелері болып табылады. G, H, I нүктелері – үшбұрыштың биіктіктерінің табандары. J, K, L нүктелері – әр биіктіктің төбелік қиылысуы (A, B, C нүктелері) мен үшбұрыштың ортоцентрі (S нүктесі) арасындағы сызық кесінділерінің орта нүктелері. Сүйір бұрышты үшбұрышта алты нүкте (орта нүктелер және биіктік табандары) үшбұрыштың ішінде жатады; доғал бұрышты үшбұрышта екі биіктіктің табандары үшбұрыштан сыртында орналасқан, бірақ бұл табандар тоғыз нүктелі шеңберге жатады.
Ашылу
Оны ашқан деп есептелгенімен, Карл Вильгельм Фейербах тоғыз нүктелі шеңберді толыққанды ашпады, алты нүктелі шеңберді ашты, үшбұрыштың үш қабырғасының орта нүктелерінің және осы үшбұрыштың биіктіктерінің табандарының маңыздылығын таныды. (1-суретті қараңыз, D, E, F, G, H, I нүктелері.) (Одан бұрын Шарль Брайаншон мен Жан Виктор Понселе осы теореманы тұжырымдап, дәлелдеген еді.) Бірақ Фейербахтан кейін көп ұзамай математик Ольри Теркем өзі шеңбердің бар екенін дәлелдеді. Ол үшбұрыштың төбелері мен ортоцентрі арасындағы үш орта нүктенің қосымша маңыздылығын бірінші болып анықтады. (1-суретті қараңыз, J, K, L нүктелері.) Осылайша Теркем тоғыз нүктелі шеңбер деген атауды алғаш рет қолданды.
Тангенттік шеңберлер
1822 жылы Карл Фейербах кез келген үшбұрыштың тоғыз нүктелі шеңберінің үшбұрыштың үш сырттай шеңберіне сыртқы жанама, ал іштей шеңберіне ішкі жанама екенін ашты; бұл нәтиже Фейербах теоремасы деп белгілі. Ол мынаны дәлелдеді: үшбұрыштың биіктіктерінің табандарынан өтетін шеңбер, үшбұрыштың үш жағына жанасатын төрт шеңбердің барлығына да жанасады. Іштей шеңбер мен тоғыз нүктелі шеңбер жанасатын үшбұрыштың центрі Фейербах нүктесі деп аталады.
The triangle center at which the incircle and the nine point circle touch is called the Feuerbach point.
Жалпылау
Дөңгелек – бұрышты қиманың мысалы, ал тоғыз нүктелі шеңбер – үшбұрыш △ABC және төртінші нүкте P қатысында құрылған жалпы тоғыз нүктелі кониканың мысалы. Тоғыз нүктелі шеңбердің нақты бір түрі P нүктесі △ABC үшбұрышының ортоцентрі болғанда пайда болады. Үшбұрыштың төбелері мен P нүктесі толық төртбұрыш құрайды және төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары қиылысатын үш "диагональді нүкте" анықтайды. Бұл төртбұрышта алты "жақ сызығы" бар; тоғыз нүктелі коника олардың орта нүктелерінен өтеді, сондай-ақ диагональді нүктелерді де қамтиды. P нүктесі △ABC үшбұрышының ішінде немесе осы үшбұрышпен тік бұрыштарды бөлісетін аймақта орналасқанда коника эллипс болады, ал P үш іргелес аймақтың бірінде болғанда тоғыз нүктелі гипербола пайда болады. P нүктесі △ABC үшбұрышының сырттай шеңберінің үстінде жатқанда гипербола тікбұрышты болады.