Введение

4 плоскостные точки, каждая из которых является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками.

В геометрии ортоцентрическая система – это набор из четырех точек на плоскости, таких, что одна из них является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками. Эквивалентно, прямые, проходящие через любые две различные точки из этого набора, перпендикулярны, и четыре окружности, проходящие через любые три из четырех точек, имеют одинаковый радиус. Если четыре точки образуют ортоцентрическую систему, то каждая из этих четырех точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя оставшимися точками. Все четыре возможных треугольника будут иметь одну и ту же девятиточечную окружность. Следовательно, все четыре возможных треугольника должны иметь описанные окружности с одинаковым радиусом.

Общий девятиточечный круг

Центр этого общего девятиточечного круга лежит в центроиде четырех ортоцентрических точек. Радиус этого общего девятиточечного круга равен расстоянию от центра девятиточечного круга до середины любого из шести отрезков, соединяющих любую пару ортоцентрических точек, через которые проходит общий девятиточечный круг. Девятиточечный круг также проходит через три точки пересечения высот четырех возможных треугольников. Этот общий девятиточечный центр лежит на середине отрезка, соединяющего любую ортоцентрическую точку с центром описанной окружности треугольника, образованного тремя другими ортоцентрическими точками. Общий девятиточечный круг касается всех 16 вписанных и приписанных окружностей четырех треугольников, вершины которых образуют ортоцентрическую систему.

Общий орфографический треугольник, его центр и его экцентры

Если шесть соединителей, соединяющих любую пару ортоцентрических точек, продолжены до шести линий, пересекающихся между собой, они образуют семь точек пересечения. Четыре из этих точек – исходные ортоцентрические точки, а три дополнительные точки – ортогональные проекции на стороны треугольника, являющиеся основаниями высот. Соединение этих трех ортогональных точек в треугольник образует ортический треугольник, общий для всех четырех возможных треугольников, образованных из четырех ортоцентрических точек, взятых по три. Инцентр этого общего ортического треугольника должен быть одной из исходных четырех ортоцентрических точек. Более того, три оставшиеся точки становятся экцентрами этого общего ортического треугольника. Ортоцентрическая точка, которая становится инцентром ортического треугольника, – это ортоцентрическая точка, ближайшая к общему центру девяти точек. Эта связь между ортическим треугольником и исходными четырьмя ортоцентрическими точками напрямую приводит к тому факту, что инцентр и экцентры опорного треугольника образуют ортоцентрическую систему. Обычно выделяют одну из ортоцентрических точек, а именно ту, которая является инцентром ортического треугольника; она обозначается H как ортоцентр трех ортоцентрических точек, выбранных в качестве опорного треугольника △ABC. В этой нормализованной конфигурации точка H всегда лежит внутри треугольника △ABC, и все углы треугольника △ABC острые. Четыре возможных треугольника, упомянутые выше, – это треугольники △ABC, △ABH, △ACH, △BCH. Шесть соединителей, упомянутые выше, – это семь точек пересечения, упомянутые выше, а именно A, B, C, H (исходные ортоцентрические точки) и основания высот треугольника △ABC, которые также являются вершинами ортического треугольника.

Ортоцентрическая система и ее ортоцентрические оси

Ортофобическая ось, связанная с нормализованной ортоцентрической системой A, B, C, H, где △ABC является исходным треугольником, — это прямая, проходящая через три точки пересечения, образованные при пересечении каждой стороны ортофобического треугольника с каждой стороной исходного треугольника. Теперь рассмотрим три других возможных треугольника: △ABH, △ACH, △BCH. У каждого из них своя ортофобическая ось.

Линии Эйлера и гомотетические ортоцентрические системы

Пусть векторы 'a', 'b', 'c', 'h' определяют положение каждой из четырех ортоцентрических точек и пусть 1 = 'n' = ('a' + 'b' + 'c' + 'h') / 4 является вектором положения N, общего девятиточкового центра. Соедините каждую из четырех ортоцентрических точек с их общим девятиточковым центром и продолжите эти линии в четыре прямые. Эти четыре прямые теперь представляют собой эйлеровы линии четырех возможных треугольников, где продолженная прямая HN является эйлеровой линией треугольника △ABC, а продолженная прямая AN является эйлеровой линией треугольника △BCH и так далее. Если точка P выбрана на эйлеровой прямой HN исходного треугольника △ABC с вектором положения 'p' таким, что 1 = 'p' = 'n' + α('h' – 'n'), где α – постоянная величина, не зависящая от расположения четырех ортоцентрических точек и трех дополнительных точек, и так далее, то образуется ортоцентрическая система. Эта полученная ортоцентрическая система всегда гомотетична исходной системе из четырех точек, с общим девятиточковым центром в качестве центра гомотетии и α в качестве коэффициента подобия. Когда P выбирается в качестве центроида G, то 1 = α = –⅓. Когда P выбирается в качестве описанного центра O, то 1 = α = –1, и полученная ортоцентрическая система конгруэнтна исходной, а также является ее отражением относительно девятиточкового центра. В этой конфигурации образуется треугольник Джонсона исходного треугольника △ABC. Следовательно, описанные окружности четырех треугольников △ABC, △ABH, △ACH, △BCH равны между собой и образуют набор кругов Джонсона, как показано на прилегающей диаграмме.