Кіріспе
4 жазықтық нүкте, олардың әрқайсысы қалған үш нүкте арқылы құрылған үшбұрыштың ортоцентрі болып табылады. Геометрияда ортоцентрлік жүйе – бұл жазықтықтағы төрт нүктенің жиынтығы, олардың біреуі қалған үш нүкте арқылы құрылған үшбұрыштың ортоцентрі болып табылады. Балама түсіндіру бойынша, нүктелер арасындағы әр түрлі жұптар арқылы өтетін түзулер перпендикуляр, ал төрт нүктенің кез келген үшінен өтетін төрт шеңбердің радиусы бірдей. Егер төрт нүкте ортоцентрлік жүйе құраса, онда төрт нүктенің әрқайсысы қалған үш нүктенің ортоцентрі болып табылады. Бұл төрт мүмкін үшбұрыштың барлығы да бірдей тоғыз нүктелі шеңберге ие. Осыған сәйкес, осы төрт мүмкін үшбұрыштың сырттай шеңберлерінің радиусы да бірдей болуы керек.
In geometry, an orthocentric system is a set of four points on a plane, one of which is the orthocenter of the triangle formed by the other three. Equivalently, the lines passing through disjoint pairs among the points are perpendicular, and the four circles passing through any three of the four points have the same radius. If four points form an orthocentric system, then each of the four points is the orthocenter of the other three. These four possible triangles will all have the same nine point circle. Consequently these four possible triangles must all have circumcircles with the same circumradius.
Тоғыз нүктелі ортақ шеңбер
Бұл ортақ тоғыз нүктелі шеңбердің ортасы төрт ортоцентрлік нүктенің центроидында орналасқан. Ортақ тоғыз нүктелі шеңбердің радиусы – тоғыз нүктелі орталықтан ортақ тоғыз нүктелі шеңбер арқылы өтетін ортоцентрлік нүктелердің кез келген жұбын қосатын алты сызық сегментінің кез келгенінің орта нүктесіне дейінгі қашықтық. Тоғыз нүктелі шеңбер сондай-ақ төрт мүмкін үшбұрыштың биіктіктерінің табандарындағы үш ортогональды қиылыс нүктелері арқылы өтеді. Ортақ тоғыз нүктелі орталық кез келген ортоцентрлік нүктені қалған үш ортоцентрлік нүктеден құрылған үшбұрыштың шеңбер ортасымен қосатын сызық сегментінің ортасында жатыр. Ортақ тоғыз нүктелі шеңбер төрт үшбұрыштың барлық 16 іштей және сырттай шеңберлеріне жанасады, олардың төбелері ортоцентрлік жүйені құрайды.
Ортақ орфологиялық үшбұрыш, оның ошағы мен ошақтары
Егер кез келген ортоцентрлік нүктелерді қосатын алты сызық бір-бірін қиып жатқан алты түзуге дейін созылса, олар жеті қиылысу нүктесін жасайды. Осы нүктелердің төртеуі – бастапқы ортоцентрлік нүктелер, ал қосымша үш нүкте – биіктіктердің табанындағы ортогональды қиылыстар. Осы үш ортогональді нүктені үшбұрыш түрінде біріктіру ортоцентрлік үшбұрышты жасайды, ол төрт ортоцентрлік нүктеден бір мезгілде үш рет алынған барлық төрт мүмкін үшбұрыштарға ортақ. Бұл ортақ ортоцентрлік үшбұрыштың ішкі центрі бастапқы төрт ортоцентрлік нүктелердің бірі болуы тиіс. Сонымен қатар, қалған үш нүкте осы ортақ ортоцентрлік үшбұрыштың сыртқы центрі болады. Ортоцентрлік нүкте ортоцентрлік үшбұрыштың ішкі центріне айналады, ол ортақ тоғыз нүктелік ортаға ең жақын ортоцентрлік нүкте болып табылады. Ортоцентрлік үшбұрыш пен бастапқы төрт ортоцентрлік нүкте арасындағы бұл байланыс тікелей анықтама үшбұрыштың ішкі және сыртқы центрі ортоцентрлік жүйе құрайды дегенге әкеледі. Ортоцентрлік нүктелердің біреуін басқалардан ажырату қалыпты жағдай, атап айтқанда, ортоцентрлік үшбұрыштың ішкі центрі болып табылатын нүктені; бұл нүкте H деп белгіленеді және ол анықтама үшбұрыш ретінде таңдалған үш ортоцентрлік нүктенің ортоцентрі болып табылады △ABC. Бұл қалыптасқан конфигурацияда H нүктесі әрқашан △ABC үшбұрышының ішінде болады, ал △ABC үшбұрышының барлық бұрыштары доғал емес болады. Жоғарыда аталған төрт мүмкін үшбұрыштар – △ABC, △ABH, △ACH, △BCH үшбұрыштары. Жоғарыда аталған алты сызық – Жоғарыда аталған жеті қиылысу нүктесі – A, B, C, H (бастапқы ортоцентрлік нүктелер) және (△ABC үшбұрышының биіктіктерінің табандары және ортоцентрлік үшбұрыштың төбелері).
Ортоцентрикалық жүйе және оның орфологиялық осьтері
А, В, С, Н нормаланған ортоцентрикалық жүйесімен байланысты орфологиялық ось, мұнда △ABC – эталондық үшбұрыш, орфологиялық үшбұрыштың әр қабырғасы эталондық үшбұрыштың әр қабырғасымен қиылысқанда түзілетін үш қиылысу нүктесі арқылы өтетін түзу. Енді △ABH, △ACH, △BCH басқа үш мүмкін үшбұрышты қарастырайық. Олардың әрқайсысының өз орфологиялық осі бар.
Эйлер сызықтары және гомотетикалық ортоцентрикалық жүйелер
Векторлар «a», «b», «c», «h» төрт ортоцентрлік нүктенің әрқайсысының орнын анықтасын, ал 1 = ‘n’ = (‘a’ + ‘b’ + ‘c’ + ‘h’) / 4 – N, ортақ тоғыз нүктелік ортаның позициялық векторы болсын. Төрт ортоцентрлік нүктенің әрқайсысын ортақ тоғыз нүктелік ортасына қосып, оларды төрт түзуге дейін созу. Бұл төрт түзу төрт мүмкін үшбұрыштың Эйлер түзулерін көрсетеді, мұнда HN түзуінің созылуы △ABC үшбұрыштың Эйлер түзуі, ал AN түзуінің созылуы △BCH үшбұрыштың Эйлер түзуі болып табылады, және т.б. Егер P нүктесі △ABC эталондық үшбұрыштың HN Эйлер түзуында ‘p’ позициялық векторымен, 1 = ‘p’ = ‘n’ + α(‘h’ – ‘n’) шартымен таңдалса, онда α – төрт ортоцентрлік нүктенің орналасуына тәуелсіз тұрақты шама, және басқа үш нүкте де ортоцентрлік жүйені құрайды. Бұл құрылған ортоцентрлік жүйе әрқашан бастапқы төрт нүктелік жүйеге гомотетикалық болады, ортақ тоғыз нүктелік ортасы гомотетикалық орталық ретінде, ал α – ұқсастық коэффициенті ретінде қарастырылады. Егер P нүктесі центроид G ретінде таңдалса, онда 1 = α = –⅓. Егер P нүктесі шеңбердің центрі O ретінде таңдалса, онда 1 = α = –1, ал құрылған ортоцентрлік жүйе бастапқы жүйеге конгруэнтті болады, сонымен қатар тоғыз нүктелік ортасына қарағанда бейнеленген түрге ие болады. Бұл конфигурацияда бастапқы △ABC эталондық үшбұрышының Джонсон үшбұрышы құрылады. Соның салдарынан △ABC, △ABH, △ACH, △BCH төрт үшбұрышының сырттай шеңберлері тең болады және көршілес диаграммада көрсетілгендей Джонсон шеңберлерінің жиынтығын құрайды.