Введение
Теория того, как учащиеся учат геометрию В математическом образовании модель Ван Хайле - это теория, которая описывает, как учащиеся учат геометрию. Теория возникла в 1957 году в докторских диссертациях Дины ван Хайле Гелдоф и Пьера ван Хайле (супруги) в Университете Утрехта, Нидерланды. Советские учёные исследовали эту теорию в 1960-х годах и включили её в учебные программы. Американские исследователи провели несколько крупных исследований теории ван Хайле в конце 1970-х и начале 1980-х годов, придя к выводу, что низкий уровень ван Хайле у студентов затрудняет успех в курсах геометрии, ориентированных на доказательства, и рекомендует лучшую подготовку на ранних уровнях. В 1986 году Пьер ван Хайле опубликовал книгу "Структура и понимание", в которой в дальнейшем описал свою теорию. Эта модель оказала большое влияние на учебные программы геометрии во всем мире, уделяя особое внимание анализу свойств и классификации форм на ранних уровнях. В Соединенных Штатах теория повлияла на геометрическую нить Стандартов, опубликованных Национальным советом учителей математики и Общими основными стандартами.
In mathematics education, the Van Hiele model is a theory that describes how students learn geometry. The theory originated in 1957 in the doctoral dissertations of Dina van Hiele Geldof and Pierre van Hiele (wife and husband) at Utrecht University, in the Netherlands. The Soviets did research on the theory in the 1960s and integrated their findings into their curricula. American researchers did several large studies on the van Hiele theory in the late 1970s and early 1980s, concluding that students' low van Hiele levels made it difficult to succeed in proof oriented geometry courses and advising better preparation at earlier grade levels. Pierre van Hiele published Structure and Insight in 1986, further describing his theory. The model has greatly influenced geometry curricula throughout the world through emphasis on analyzing properties and classification of shapes at early grade levels. In the United States, the theory has influenced the geometry strand of the Standards published by the National Council of Teachers of Mathematics and the Common Core Standards.
Уровни Ван Хиле
Ученик учится наизусть работать с [математическими] отношениями, которые он не понимает, и которые он не видел происхождения Поэтому система отношений является независимой конструкцией, не имеющей отношения к другим опытам ребенка. Это означает, что ученик знает только то, чему его учили и что он из этого вывел. Он не научился устанавливать связи между системой и сенсорным миром. Он не будет знать, как применить то, что узнал, в новой ситуации. Пьер ван Хиле, 1959 Наиболее известной частью модели ван Хиле являются пять уровней, которые ван Хиле постулировал, чтобы описать, как дети учатся рассуждать в геометрии. Нельзя ожидать, что студенты докажут геометрические теоремы, пока они не получат широкое понимание систем отношений между геометрическими идеями. Эти системы нельзя выучить наизусть, но их необходимо развивать через знакомство, испытывая многочисленные примеры и контрпримеры, различные свойства геометрических фигур, отношения между свойствами и порядок этих свойств. Пять уровней, постулированных ван Хильсом, описывают, как учащиеся продвигаются вперед через это понимание. Пять уровней ван Хайле иногда неправильно понимают как описание того, как студенты понимают классификацию форм, но уровни на самом деле описывают способ, которым студенты рассуждают о формах и других геометрических идеях. Пьер ван Хайле заметил, что его ученики склонны к "плато" в определенных точках в их понимании геометрии, и он определил эти плато как уровни. В целом, эти уровни являются продуктом опыта и образования, а не возраста. Это в отличие от теории Пиаже о когнитивном развитии, которая зависит от возраста. У ребенка должно быть достаточно опыта (в классе или в другом месте) с этими геометрическими идеями, чтобы перейти на более высокий уровень сложности. Благодаря богатому опыту, дети могут достичь уровня 2 в начальной школе. Без такого опыта многие взрослые (включая учителей) остаются на уровне 1 всю свою жизнь, даже если они проходят официальный курс геометрии в средней школе. Ван Хиль утверждают, что большая часть трудностей, испытываемых студентами геометрии, связана с тем, что их учат на уровне дедукции, когда они еще не достигли уровня абстракции. Второй. Соседство: свойства, которые являются внутренними на одном уровне, становятся внешними на следующем. (Свойства существуют на уровне визуализации, но студент еще не осознает их до уровня анализа. Собственности на самом деле связаны на уровне анализа, но студенты еще не осознают эти отношения.) Третье. Различие: каждый уровень имеет свои лингвистические символы и сеть отношений. Значение языкового символа - это не только его явное определение; оно включает в себя опыт, который говорящий ассоциирует с данным символом. То, что может быть "правильным" на одном уровне, не обязательно является правильным на другом уровне. На уровне 0 квадрат - это что-то, что выглядит как коробка. На 2-м уровне квадрат - это особый тип прямоугольника. Ни одно из этих утверждений не является правильным описанием значения слова "квадрат" для человека, рассуждающего на уровне 1. Если ученику просто дают определение и связанные с ним свойства, не позволяя развивать значимый опыт с концепцией, студент не сможет применить эти знания за пределами ситуаций, используемых на уроке. 4. Нельзя. Разделение: учитель, который рассуждает на одном уровне, говорит на другом "языке" от ученика на более низком уровне, препятствуя пониманию. Когда учитель говорит о "квадратном", он или она имеет в виду особый тип прямоугольника. У студента с нулевым или первым уровнем знаний это понятие будет отличаться. Ученик не понимает учителя, а учитель не понимает, как ученик рассуждает, часто делая вывод, что ответы ученика просто "неправильны". Ван Хиль считал, что это свойство было одной из главных причин неудачи в геометрии. Учителя считают, что они выражают себя ясно и логично, но их рассуждения на уровне 3 или 4 не понятны учащимся на более низких уровнях, а учителя не понимают мыслительных процессов своих учеников. В идеале учителю и ученикам нужны общие опыты, которые помогут им выучить язык. Пять. Достижение: Ван Хильс рекомендовал пять этапов для перехода студентов с одного уровня на другой по данной теме: Информация или исследование: студенты знакомятся с материалом и начинают открывать его структуру. Учителя представляют новую идею и позволяют студентам работать с новой концепцией. Позволяя студентам ощутить стр...
The best known part of the van Hiele model are the five levels which the van Hieles postulated to describe how children learn to reason in geometry. Students cannot be expected to prove geometric theorems until they have built up an extensive understanding of the systems of relationships between geometric ideas. These systems cannot be learned by rote, but must be developed through familiarity by experiencing numerous examples and counterexamples, the various properties of geometric figures, the relationships between the properties, and how these properties are ordered. The five levels postulated by the van Hieles describe how students advance through this understanding. The five van Hiele levels are sometimes misunderstood to be descriptions of how students understand shape classification, but the levels actually describe the way that students reason about shapes and other geometric ideas. Pierre van Hiele noticed that his students tended to "plateau" at certain points in their understanding of geometry and he identified these plateau points as levels. In general, these levels are a product of experience and instruction rather than age. This is in contrast to Piaget's theory of cognitive development, which is age dependent. A child must have enough experiences (classroom or otherwise) with these geometric ideas to move to a higher level of sophistication. Through rich experiences, children can reach Level 2 in elementary school. Without such experiences, many adults (including teachers) remain in Level 1 all their lives, even if they take a formal geometry course in secondary school. The van Hieles claim that much of the difficulty experienced by geometry students is due to being taught at the Deduction level when they have not yet achieved the Abstraction level. 2. Adjacency: properties which are intrinsic at one level become extrinsic at the next. (The properties are there at the Visualization level, but the student is not yet consciously aware of them until the Analysis level. Properties are in fact related at the Analysis level, but students are not yet explicitly aware of the relationships.) 3. Distinction: each level has its own linguistic symbols and network of relationships. The meaning of a linguistic symbol is more than its explicit definition; it includes the experiences the speaker associates with the given symbol. What may be "correct" at one level is not necessarily correct at another level. At Level 0 a square is something that looks like a box. At Level 2 a square is a special type of rectangle. Neither of these is a correct description of the meaning of "square" for someone reasoning at Level 1. If the student is simply handed the definition and its associated properties, without being allowed to develop meaningful experiences with the concept, the student will not be able to apply this knowledge beyond the situations used in the lesson. 4. Separation: a teacher who is reasoning at one level speaks a different "language" from a student at a lower level, preventing understanding. When a teacher speaks of a "square" she or he means a special type of rectangle. A student at Level 0 or 1 will not have the same understanding of this term. The student does not understand the teacher, and the teacher does not understand how the student is reasoning, frequently concluding that the student's answers are simply "wrong". The van Hieles believed this property was one of the main reasons for failure in geometry. Teachers believe they are expressing themselves clearly and logically, but their Level 3 or 4 reasoning is not understandable to students at lower levels, nor do the teachers understand their students’ thought processes. Ideally, the teacher and students need shared experiences behind their language. 5. Attainment: The van Hieles recommended five phases for guiding students from one level to another on a given topic:
Information or inquiry: students get acquainted with the material and begin to discover its structure. Teachers present a new idea and allow the students to work with the new concept. By having students experience the structure of the new concept in a similar way, they can have meaningful conversations about it. (A teacher might say, "This is a rhombus. Construct some more rhombi on your paper.") Guided or directed orientation: students do tasks that enable them to explore implicit relationships. Teachers propose activities of a fairly guided nature that allow students to become familiar with the properties of the new concept which the teacher desires them to learn. (A teacher might ask, "What happens when you cut out and fold the rhombus along a diagonal? the other diagonal?" and so on, followed by discussion.) Explicitation: students express what they have discovered and vocabulary is introduced. The students’ experiences are linked to shared linguistic symbols. The van Hieles believe it is more profitable to learn vocabulary after students have had an opportunity to become familiar with the concept. The discoveries are made as explicit as possible. (A teacher might say, "Here are the properties we have noticed and some associated vocabulary for the things you discovered. Let's discuss what these mean.") Free orientation: students do more complex tasks enabling them to master the network of relationships in the material. They know the properties being studied, but need to develop fluency in navigating the network of relationships in various situations. This type of activity is much more open ended than the guided orientation. These tasks will not have set procedures for solving them. Problems may be more complex and require more free exploration to find solutions. (A teacher might say, "How could you construct a rhombus given only two of its sides?" and other problems for which students have not learned a fixed procedure.) Integration: students summarize what they have learned and commit it to memory. The teacher may give the students an overview of everything they have learned. It is important that the teacher not present any new material during this phase, but only a summary of what has already been learned. The teacher might also give an assignment to remember the principles and vocabulary learned for future work, possibly through further exercises. (A teacher might say, "Here is a summary of what we have learned. Write this in your notebook and do these exercises for homework.") Supporters of the van Hiele model point out that traditional instruction often involves only this last phase, which explains why students do not master the material. For Dina van Hiele Geldof's doctoral dissertation, she conducted a teaching experiment with 12 year olds in a Montessori secondary school in the Netherlands. She reported that by using this method she was able to raise students' levels from Level 0 to 1 in 20 lessons and from Level 1 to 2 in 50 lessons.