Введение
В математике, особенно в области алгебры, изучающей теорию абелевых групп, чистая подгруппа является обобщением прямого сумма. Он нашёл много применений в теории абелевых групп и смежных областях.
Определение
Подгруппа (обычно абелева) группы считается чистой , если каждый раз , когда элемент a имеет корень in , он обязательно имеет корень in Формально: , существование a в G таково , что существование a в S таково , что .
Происхождение
Чистые подгруппы также называются изолированными подгруппами или обслуживающими подгруппами и впервые были исследованы в статье Прюфера 1923 года, в которой описаны условия разложения первичных абелевых групп как прямые суммы циклических групп с использованием чистых подгрупп. Работа Пруфера была дополнена Куликовым, где многие результаты были доказаны снова, систематически используя чистые подгруппы. В частности, было доказано, что чистые подгруппы конечных показателей являются прямыми суммами. Более полное обсуждение чистых подгрупп, их отношения к теории бесконечных абелевых групп и обзор их литературы даны в "Красной книжке" Ирвинга Каплански.
Примеры
Каждый прямой сумман группы является чистой подгруппой. Каждая чистая подгруппа чистой подгруппы чиста. Делимая подгруппа абелевой группы чиста. Если группа коэффициентов свободна от торсии, подгруппа чиста. Торсионная подгруппа абелевой группы чиста. Направленное объединение чистых подгрупп является чистой подгруппой. Поскольку в конечно сгенерированной абелевой группе торсионная подгруппа является прямым сумматом, можно спросить, является ли торсионная подгруппа всегда прямым сумматом абелевой группы. Оказывается, это не всегда сумма, но это чистая подгруппа. При определенных умеренных условиях чистые подгруппы являются прямыми суммами. Таким образом, можно все еще восстановить желаемый результат в этих условиях, как в статье Куликова. Чистые подгруппы могут использоваться в качестве промежуточного свойства между результатом на прямых суммандах с условиями конечности и полным результатом на прямых суммандах с менее ограничительными условиями конечности. Другим примером такого использования является статья Пруфера, где факт, что "оконченные торсионные абелевы группы являются прямыми суммами циклических групп", расширяется до результата, что "все торсионные абелевы группы конечного экспонента являются прямыми суммами циклических групп" посредством промежуточного рассмотрения чистых подгрупп.
Обобщения
Чистые подгруппы обобщались несколькими способами в теории абелевых групп и модулей. Чистые подмодули определялись различными способами, но в конечном итоге придерживались современного определения с точки зрения тензорных произведений или систем уравнений; более ранние определения обычно были более прямыми обобщениями, такими как одно уравнение, используемое выше для n'х корней. Чистые инъекционные и чистые проекционные модули тесно связаны с идеями статьи Пруфера 1923 года. Хотя чистые проективные модули не нашли столько применений, сколько чистые инъективные, они более тесно связаны с оригинальной работой: модуль является чистым проективным, если он является прямым сумма прямой суммы конечно представленных модулей. В случае целых чисел и абелевых групп чистый проективный модуль равен прямой сумме циклических групп.