Введение
Когда дисперсия является случайной переменной В статистике, стохастические модели волатильности - это те, в которых дисперсия стохастического процесса сама по себе распределена случайным образом. Они используются в области математического финансирования для оценки производных ценных бумаг, таких как опционы. Название происходит от модели обработки волатильности базового ценного бумаги как случайный процесс, регулируемый переменными состояния, такими как уровень цены базового ценного бумаги, тенденция волатильности вернуться к некоторому долгосрочному среднему значению и вариации самого процесса волатильности, среди прочего. Стохастические модели волатильности являются одним из подходов к устранению недостатков модели Блэка-Шолса. В частности, модели, основанные на Black Scholes, предполагают, что базовая волатильность постоянна в течение срока действия дериватива и не подвержена изменениям уровня цены базового ценного бумаги. Однако эти модели не могут объяснить долго наблюдаемые особенности поверхности имплицитной волатильности, такие как улыбка и уклон волатильности, которые указывают на то, что имплицитная волатильность имеет тенденцию изменяться в зависимости от цены исполнения и срока действия. Предполагая, что волатильность базовой цены является скорее стохастическим процессом, чем постоянной, становится возможным моделировать деривативы более точно. Среднее положение между моделью Black Scholes и стохастическими моделями волатильности покрывается моделями локальной волатильности. В этих моделях основная волатильность не имеет никакой новой случайности, но она также не является постоянной. В моделях локальной волатильности волатильность является нетривиальной функцией базового актива, без какой-либо дополнительной случайности. Согласно этому определению, модели, такие как постоянная эластичность дисперсии, будут моделями локальной волатильности, хотя иногда они классифицируются как модели стохастической волатильности. В некоторых случаях классификация может быть немного неоднозначной. Ранняя история стохастической волатильности имеет несколько корней (т.е. стохастический процесс, ценообразование опционов и эконометрика), она рассматривается в главе 1 Нила Шепарда (2005) "Стохастическая волатильность", Оксфордский университетский пресс.
In statistics, stochastic volatility models are those in which the variance of a stochastic process is itself randomly distributed. They are used in the field of mathematical finance to evaluate derivative securities, such as options. The name derives from the models' treatment of the underlying security's volatility as a random process, governed by state variables such as the price level of the underlying security, the tendency of volatility to revert to some long run mean value, and the variance of the volatility process itself, among others. Stochastic volatility models are one approach to resolve a shortcoming of the Black–Scholes model. In particular, models based on Black Scholes assume that the underlying volatility is constant over the life of the derivative, and unaffected by the changes in the price level of the underlying security. However, these models cannot explain long observed features of the implied volatility surface such as volatility smile and skew, which indicate that implied volatility does tend to vary with respect to strike price and expiry. By assuming that the volatility of the underlying price is a stochastic process rather than a constant, it becomes possible to model derivatives more accurately. A middle ground between the bare Black Scholes model and stochastic volatility models is covered by local volatility models. In these models the underlying volatility does not feature any new randomness but it isn't a constant either. In local volatility models the volatility is a non trivial function of the underlying asset, without any extra randomness. According to this definition, models like constant elasticity of variance would be local volatility models, although they are sometimes classified as stochastic volatility models. The classification can be a little ambiguous in some cases. The early history of stochastic volatility has multiple roots (i. e. stochastic process, option pricing and econometrics), it is reviewed in Chapter 1 of Neil Shephard (2005) "Stochastic Volatility," Oxford University Press.
Модель волатильности SABR
Модель SABR (стохастическая альфа, бета, ро), представленная Хаганом и др. Описывает один форвардный (относящийся к любому активу, например индексу, процентной ставке, облигации, валюте или акции) при стохастической волатильности: Начальные значения и - это текущая форвардная цена и волатильность, тогда как и - это два коррелирующих процесса Винера (то есть движения Брауна) с коэффициентом корреляции. Постоянные параметры таковы, что Основная особенность модели SABR - это возможность воспроизвести эффект улыбки улыбки волатильности.
The initial values and are the current forward price and volatility, whereas and are two correlated Wiener processes (i. e. Brownian motions) with correlation coefficient The constant parameters are such that
The main feature of the SABR model is to be able to reproduce the smile effect of the volatility smile.
Модель GARCH
Модель обобщенной авторегрессивной условной гетероскедастичности (GARCH) является еще одной популярной моделью для оценки стохастической волатильности. Предполагается, что случайность процесса вариантности варьируется с вариантностью, в отличие от квадратного корня вариантности, как в модели Гестона. Стандартная модель GARCH ((1,1) имеет следующую форму для дифференциала непрерывного расхождения: модель GARCH была расширена с помощью многочисленных вариантов, включая NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR GARCH, Power GARCH, Component GARCH и т. Д. Однако, строго говоря, условные волатильности из моделей GARCH не являются стохастическими, поскольку в момент t волатильность полностью предопределена (детерминирована) с учетом предыдущих значений.
The GARCH model has been extended via numerous variants, including the NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR GARCH, Power GARCH, Component GARCH, etc. Strictly, however, the conditional volatilities from GARCH models are not stochastic since at time t the volatility is completely pre determined (deterministic) given previous values.
Модель 3/2
Модель 3/2 похожа на модель Гестона, но предполагает, что случайность процесса вариации варьируется с формой дифференциала вариации: Однако значение параметров отличается от модели Гестона. В этой модели, как средняя обратная, так и волатильность параметров дисперсии являются стохастическими величинами, данными соответственно и.
However the meaning of the parameters is different from Heston model. In this model, both mean reverting and volatility of variance parameters are stochastic quantities given by and respectively.
Грубые модели волатильности
Используя оценку волатильности из высокочастотных данных, была поставлена под сомнение плавность процесса волатильности. Было обнаружено, что лог-волатильность ведет себя как дробное движение Брауна с экспонентом Хёрста порядка, в любом разумном временном масштабе. Это привело к принятию модели фракционной стохастической волатильности (FSV), что привело к общей грубой FSV (RFSV), где "грубая" подчеркивает, что модель RFSV согласуется с данными временных рядов, что позволяет улучшить прогнозы реализованной волатильности.