Введение
В математике, в области теории групп, группа называется группой CA или централизатор абелевой группой, если централизатор любого неидентичного элемента является абелевой подгруппой. Конечные группы CA имеют историческое значение как ранний пример типа классификаций, которые будут использоваться в теореме Фейта-Томпсона и классификации конечных простых групп. Несколько важных бесконечных групп являются группами CA, такими как свободные группы, монстры Тарски и некоторые группы Бернсайд, а локально конечные группы CA были классифицированы явно. Группы CA также называются коммутативными транзитивными группами (или группами CT, если сократить), потому что коммутативность является транзитивным отношением между неидентичными элементами группы, если и только если группа является группой CA.
История
Локально конечные группы КА были классифицированы несколькими математиками с 1925 по 1998 год. Сначала было показано, что конечные группы КА просты или разрешимы в. Затем в теореме Брауера Сузуки Уолла , конечные группы КА четного порядка были показаны как группы Фробена, абелевы группы или двумерные проективные специальные линейные группы над конечным полем четного порядка, PSL ((2, 2f) для f ≥ 2. Наконец, конечные группы CA нечетного порядка были показаны как группы Фробена или абелевы группы в , и поэтому, в частности, никогда не являются неабелевыми простыми. Группы CA были важны в контексте классификации конечных простых групп. Мичио Судзуки показал, что каждая конечная, простая, неабелская группа CA имеет четный порядок. Этот результат был сначала расширен до теоремы Фейта Холла Томпсона, показывающей, что конечные, простые, неабелевые группы CN имеют четный порядок, а затем до теоремы Фейта Томпсона, которая гласит, что каждая конечная, простая, неабелевая группа имеет четный порядок. Более подробное описание групп Фробениуса, появляющихся в , где показано, что конечная, разрешимая группа CA является полупрямым продуктом абелевой группы и автоморфизма без фиксированной точки, и, наоборот, каждый такой полупрямый продукт является конечной, разрешимой группой CA. Ву также расширил классификацию Сузуки и др. к локально конечным группам.
Примеры
Каждая абелева группа является группой CA, а группа с нетривиальным центром является группой CA, если и только если она абелева. Конечные группы CA классифицируются: разрешимые группы являются полупрямыми продуктами абелевых групп циклическими группами, при которых каждый нетривиальный элемент действует свободно в фиксированной точке и включает в себя такие группы, как диэдрические группы порядка 4k + 2 и чередующаяся группа на 4 точках порядка 12, в то время как нерешимые группы все простые и являются двумерными проективными специальными линейными группами PSL ((2, 2n) для n ≥ 2. К бесконечным группам CA относятся свободные группы, PSL ((2, R) и группы Бернсайд с большим простым показателем. Некоторые более поздние результаты в бесконечном случае включены в , включая классификацию локально конечных групп CA. Ву также отмечает, что монстры Тарски являются очевидными примерами бесконечных простых групп CA.