Введение
Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов. В математике квадратной матрицей называется матрица с одинаковым количеством строк и столбцов. Матрица размера n x n называется квадратной матрицей порядка n. Любые две квадратные матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать. Квадратные матрицы часто используются для представления простых линейных преобразований, таких как сдвиг или вращение. Например, если A – квадратная матрица, представляющая вращение (матрица вращения), и x – вектор-столбец, описывающий положение точки в пространстве, то произведение Ax дает другой вектор-столбец, описывающий положение этой точки после вращения. Если x – вектор-строка, то то же преобразование можно получить, используя xAᵀ, где Aᵀ – транспонированная матрица A.
In mathematics, a square matrix is a matrix with the same number of rows and columns. An n by n matrix is known as a square matrix of order Any two square matrices of the same order can be added and multiplied. Square matrices are often used to represent simple linear transformations, such as shearing or rotation. For example, if is a square matrix representing a rotation (rotation matrix) and is a column vector describing the position of a point in space, the product yields another column vector describing the position of that point after that rotation. If is a row vector, the same transformation can be obtained using , where is the transpose of .
Главная диагональ
Элементы (1=i = 1, , n) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Они лежат на воображаемой линии, проходящей от верхнего левого угла к нижнему правому углу матрицы. Например, главная диагональ матрицы 4×4, представленной выше, содержит элементы 1=a11 = 9, 1=a22 = 11, 1=a33 = 4, 1=a44 = 10. Диагональ квадратной матрицы, идущая от правого верхнего угла к левому нижнему углу, называется антидиагональю или вторичной диагональю.
Диагональная или треугольная матрица
Если все элементы вне главной диагонали равны нулю, матрица называется диагональной. Если все элементы ниже (соответственно, выше) главной диагонали равны нулю, матрица называется нижнетреугольной (соответственно, верхнетреугольной).
Матрица идентификации
Идентичная матрица размера *n* × *n* — это квадратная матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, например.
Это квадратная матрица порядка *n*, а также особый вид диагональной матрицы. Термин "идентичная матрица" отражает свойство умножения матриц, согласно которому для любой матрицы *A* выполняется равенство *I* *A* = *A* *I*.
for any matrix .
Симетрическая или симметричная по наклонности матрица
Квадратная матрица, равная своей транспонированной матрице, то есть , является симметричной матрицей. Если вместо , то она называется кососимметричной матрицей. Для комплексной квадратной матрицы часто подходящим аналогом транспонирования является сопряжённое транспонирование , определяемое как транспонирование комплексно сопряжённой матрицы. Комплексная квадратная матрица, удовлетворяющая , называется эрмитовой матрицей. Если вместо , то она называется косоэрмитовой матрицей. Согласно спектральной теореме, вещественные симметричные (или комплексные эрмитовы) матрицы имеют ортогональный (или унитарный) собственный базис, то есть каждый вектор может быть представлен как линейная комбинация собственных векторов. В обоих случаях все собственные значения вещественны.
Нормальная матрица
Реальная или комплексная квадратная матрица называется нормальной, если A*A = AA*, где A* обозначает эрмитово сопряжение матрицы A. Если реальная квадратная матрица симметрична, кососимметрична или ортогональна, то она нормальна. Если комплексная квадратная матрица эрмитова, косоэрмитова или унитарна, то она нормальна. Нормальные матрицы представляют интерес главным образом потому, что они включают в себя перечисленные типы матриц и образуют самый широкий класс матриц, для которых справедлива спектральная теорема.