Никола Бурбаки: Коллектив математиков и их "Элементы математики"

Введение

Никола Бурбаки (Nicolas Bourbaki) — коллективный псевдоним группы математиков, преимущественно французских выпускников Высшей нормальной школы (Париж) (École normale supérieure (Paris) (ENS)). Основанная в 1934–1935 годах, группа Бурбаки изначально намеревалась подготовить новый учебник по анализу. Со временем проект стал гораздо более масштабным, превратившись в обширную серию учебников, изданных под именем Бурбаки и предназначенных для систематического изложения современной чистой математики. Эта серия известна как «Элементы математики» (Éléments de mathématique) — центральная работа группы. В серию включены такие темы, как теория множеств, абстрактная алгебра, топология, анализ, группы Ли и алгебры Ли. Группа Бурбаки была создана в ответ на последствия Первой мировой войны, которая привела к гибели целого поколения французских математиков; в результате молодые преподаватели университетов были вынуждены использовать устаревшие учебники. Преподавая в Страсбургском университете, Анри Картан пожаловался своему коллеге Андре Вейлю на нехватку подходящих учебных материалов, что побудило Вейля предложить встречу с другими математиками в Париже для совместной работы над современным учебником по анализу. Основными основателями группы были Картан, Клод Шевалье, Жан Делсарте, Жан Диодонне и Вейль; другие участвовали в работе группы в течение короткого времени на ранних этапах, а состав группы постепенно менялся с течением времени. Хотя бывшие члены открыто рассказывают о своем участии в группе, Бурбаки придерживается традиции сохранять в тайне имена своих нынешних членов. Название группы происходит от имени французского генерала XIX века Шарля Дени Бурбаки, который успешно командовал войсками в ряде военных кампаний, прежде чем потерпеть сокрушительное поражение в Франко-прусской войне. Это имя было хорошо известно французским студентам начала XX века. Вейль вспоминает студенческий розыгрыш в ENS, когда старшекурсник выдавал себя за профессора и представлял «теорему Бурбаки»; впоследствии это название было принято группой. Группа Бурбаки регулярно проводит закрытые конференции для разработки и расширения «Элементов». Темы распределяются между подкомитетами, проекты обсуждаются, и для публикации текста требуется единогласное одобрение. Хотя этот процесс медленный и трудоемкий, он обеспечивает соответствие работы высоким стандартам группы в отношении строгости и общности. Группа также связана с Семинаром Бурбаки — регулярной серией лекций, которые читают члены и не члены группы, и которые также публикуются и распространяются в виде письменных материалов. У Бурбаки есть офис в ENS. Никола Бурбаки оказал значительное влияние на математику XX века, особенно в середине столетия, когда часто выходили новые тома «Элементов». Группа известна среди математиков своей строгостью изложения и введением понятия математической структуры, идеи, связанной с более широкой междисциплинарной концепцией структурализма. Работа Бурбаки оказала влияние на «Новую математику» — направление в начальном математическом образовании в 1960-х годах. Хотя группа продолжает свою деятельность, считается, что ее влияние уменьшилось из-за нечастой публикации новых томов «Элементов». Однако с 2012 года группа опубликовала четыре новых (или значительно переработанных) тома, последний из которых вышел в 2023 году и посвящен теории спектра. Кроме того, в настоящее время готовится к публикации не менее трех дополнительных томов.

Pseudonym of a group of mathematicians
the group of mathematicians

Nicolas Bourbaki (nikɔla buʁbaki) is the collective pseudonym of a group of mathematicians, predominantly French alumni of the [[École normale supérieure (Paris) (ENS). Founded in 1934–1935, the Bourbaki group originally intended to prepare a new textbook in analysis. Over time the project became much more ambitious, growing into a large series of textbooks published under the Bourbaki name, meant to treat modern pure mathematics. The series is known collectively as the Éléments de mathématique (Elements of Mathematics), the group's central work. Topics treated in the series include set theory, abstract algebra, topology, analysis, Lie groups and Lie algebras. Bourbaki was founded in response to the effects of the First World War which caused the death of a generation of French mathematicians; as a result, young university instructors were forced to use dated texts. While teaching at the University of Strasbourg, Henri Cartan complained to his colleague André Weil of the inadequacy of available course material, which prompted Weil to propose a meeting with others in Paris to collectively write a modern analysis textbook. The group's core founders were Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné and Weil; others participated briefly during the group's early years, and membership has changed gradually over time. Although former members openly discuss their past involvement with the group, Bourbaki has a custom of keeping its current membership secret. The group's name derives from the 19th century French general Charles Denis Bourbaki, who had a career of successful military campaigns before suffering a dramatic loss in the Franco Prussian War. The name was therefore familiar to early 20th century French students. Weil remembered an ENS student prank in which an upperclassman posed as a professor and presented a "theorem of Bourbaki"; the name was later adopted. The Bourbaki group holds regular private conferences for the purpose of drafting and expanding the Éléments. Topics are assigned to subcommittees, drafts are debated, and unanimous agreement is required before a text is deemed fit for publication. Although slow and labor intensive, the process results in a work which meets the group's standards for rigour and generality. The group is also associated with the Séminaire Bourbaki, a regular series of lectures presented by members and non members of the group, also published and disseminated as written documents. Bourbaki maintains an office at the ENS. Nicolas Bourbaki was influential in 20th century mathematics, particularly during the middle of the century when volumes of the Éléments appeared frequently. The group is noted among mathematicians for its rigorous presentation and for introducing the notion of a mathematical structure, an idea related to the broader, interdisciplinary concept of structuralism. Bourbaki's work informed the New Math, a trend in elementary math education during the 1960s. Although the group remains active, its influence is considered to have declined due to infrequent publication of new volumes of the Éléments. However, since 2012 the group has published four new (or significantly revised) volumes, the most recent in 2023 (treating spectral theory). Moreover, at least three further volumes are under preparation.

Предыстория

Чарльз Денис Саутер Бурбаки был успешным генералом в эпоху Наполеона III, участвовавшим в Крымской войне и других конфликтах. Однако во время франко-прусской войны Шарль Дени Бурбаки потерпел крупное поражение, в результате которого Армия Востока под его командованием отступила за швейцарскую границу и была разоружена. Генерал безуспешно пытался покончить с собой. Драматическая история его поражения стала известна во французском обществе после его смерти. В начале XX века Первая мировая война затронула европейцев всех профессий и социальных слоев, включая математиков и студентов, воевавших и погибших на фронте. Например, французский математик Гастон Жулия, пионер в изучении фракталов, потерял нос во время войны и до конца жизни носил кожаный ремень, закрывавший поврежденную часть лица. Гибель студентов Высшей нормальной школы (ENS) привела к утрате целого поколения во французском математическом сообществе; по оценкам, от одной четверти до половины студентов математического факультета ENS (и французских студентов в целом) погибли на войне, в зависимости от рассматриваемого периода времени (ок. 1900–1918 гг., особенно 1910–1916 гг.) и выборки. Более того, основатель группы «Бурбаки» Андре Вейль отметил в своих мемуарах «Ученичество математика», что Франция и Германия придерживались разных подходов к своей интеллигенции во время войны: в то время как Германия защищала своих молодых студентов и ученых, Франция, напротив, отправляла их на фронт, руководствуясь французской культурой эгалитаризма. В 1920-е годы в ENS поступило новое поколение студентов-математиков, включая Вейля и других, будущих основателей «Бурбаки». В годы ученичества Вейль вспоминал розыгрыш, устроенный старшекурсником Раулем Гуссоном, который выдавал себя за профессора и читал лекцию по математике, завершая ее заданием: «Теорема Бурбаки: докажите следующее». Вейль также знал о подобном трюке, произошедшем примерно в 1910 году. Пребывание Вейля в Индии было недолгим; он попытался реорганизовать математический факультет в Алигархе, но не преуспел. Администрация университета планировала уволить Вейля и назначить его коллегу Виджаярахавана на освободившуюся должность. Однако Вейль и Виджаярахаван уважали друг друга. Чтобы не участвовать в этой интриге, Виджаярахаван подал в отставку, а затем сообщил Вейлю о планах администрации. Вейль вернулся в Европу в поисках преподавательской должности и в итоге поступил в Страсбургский университет, где присоединился к своему другу и коллеге Анри Картану.

Charles Denis Sauter Bourbaki was a successful general during the era of Napoleon III, serving in the Crimean War and other conflicts. During the Franco Prussian war however, Charles Denis Bourbaki suffered a major defeat in which the Armée de l'Est, under his command, retreated across the Swiss border and was disarmed. The general unsuccessfully attempted suicide. The dramatic story of his defeat was known in the French popular consciousness following his death. In the early 20th century, the First World War affected Europeans of all professions and social classes, including mathematicians and male students who fought and died in the front. For example, the French mathematician Gaston Julia, a pioneer in the study of fractals, lost his nose during the war and wore a leather strap over the affected part of his face for the rest of his life. The deaths of ENS students resulted in a lost generation in the French mathematical community; the estimated proportion of ENS mathematics students (and French students generally) who died in the war ranges from one quarter to one half, depending on the intervals of time (c. 1900–1918, especially 1910–1916) and populations considered. Furthermore, Bourbaki founder André Weil remarked in his memoir Apprenticeship of a Mathematician that France and Germany took different approaches with their intelligentsia during the war: while Germany protected its young students and scientists, France instead committed them to the front, owing to the French culture of egalitarianism. A succeeding generation of mathematics students attended the ENS during the 1920s, including Weil and others, the future founders of Bourbaki. During his time as a student, Weil recalled a prank in which an upperclassman, Raoul Husson, posed as a professor and gave a math lecture, ending with a prompt: "Theorem of Bourbaki: you are to prove the following ". Weil was also aware of a similar stunt around 1910 Weil's stay in India was short lived; he attempted to revamp the mathematics department at Aligarh, without success. The university administration planned to fire Weil and promote his colleague Vijayaraghavan to the vacated position. However, Weil and Vijayaraghavan respected one another. Rather than play any role in the drama, Vijayaraghavan instead resigned, later informing Weil of the plan. Weil returned to Europe to seek another teaching position. He ended up at the University of Strasbourg, joining his friend and colleague Henri Cartan.

Основание

Во время совместного пребывания в Страсбурге Вейль и Картан регулярно жаловались друг другу на недостаточность доступных учебных материалов для преподавания математического анализа. В своих мемуарах «Ученичество» Вейль описал свое решение следующим образом: «Однажды зимой, к концу 1934 года, мне пришла в голову замечательная идея, которая положила бы конец этим бесконечным расспросам моего товарища. ‘Нас пятеро или шестеро друзей, – сказал я ему спустя некоторое время, – которые отвечают за одну и ту же учебную программу по математике в разных университетах. Давайте все соберемся вместе и урегулируем эти вопросы раз и навсегда, и тогда я избавлюсь от этих вопросов’. Я не подозревал, что в этот момент родился Бурбаки». Картан подтвердил этот рассказ. Первая неофициальная встреча коллектива Бурбаки состоялась в полдень в понедельник, 10 декабря 1934 года, в кафе-гриль «A. Capoulade» в Латинском квартале Парижа. Присутствовали шесть математиков: Анри Картан, Клод Шевалье, Жан Делсарт, Жан Диодонне, Рене де Поссель и Андре Вейль. Большинство участников группы находились за пределами Парижа и приехали в город для участия в семинаре Жюлии – конференции, организованной при поддержке Гастона Жюлии, на которой выступали несколько будущих членов и соратников Бурбаки. Группа решила совместно написать трактат по анализу с целью стандартизации преподавания математического анализа во французских университетах. Проект был призван заменить устаревший текст Эдуарда Гурса и улучшить изложение теоремы Стокса. Основателей также побуждало желание включить идеи Гёттингенской школы, особенно работы Гильберта, Нётер и Б. Л. ван дер Вардена. Кроме того, после Первой мировой войны существовало определенное националистическое стремление спасти французскую математику от упадка, особенно в конкуренции с Германией. Как заявил Диодонне в интервью: «Не хвастаясь, могу сказать, что именно Бурбаки спас французскую математику от исчезновения». Жан Делсарт особенно приветствовал коллективный характер предлагаемого проекта, отметив, что такой стиль работы может защитить результаты группы от возможных будущих индивидуальных претензий на авторские права. В ходе обсуждения различных вопросов Делсарт также предложил начать работу с самых абстрактных, аксиоматических понятий, рассматривая всю математику, необходимую для анализа, с нуля. Группа согласилась с этой идеей, и эта фундаментальная область предлагаемой работы получила название «Абстрактный пакет» (Paquet Abstrait). Были приняты рабочие названия: группа именовала себя Комитетом по трактату об анализе, а их предполагаемая работа – Трактатом об анализе (Traité d'analyse). В общей сложности коллектив провел десять предварительных двухнедельных встреч в «A. Capoulade» перед своей первой официальной учредительной конференцией в июле 1935 года. В этот ранний период к ним присоединились и приняли участие Поль Дюбрей, Жан Лерей и Сзолем Мандельбройт. Дюбрей и Лерей покинули встречи до следующего лета и были заменены соответственно Жаном Куломбом и Шарлем Эресманном. Официальная учредительная конференция группы состоялась в Бессе-ан-Шандес с 10 по 17 июля 1935 года. На момент официального основания в состав группы входили шесть участников первого обеда 10 декабря 1934 года, а также Куломб, Эресманн и Мандельбройт. 16 июля участники совершили прогулку, чтобы развеять скуку от непродуктивных обсуждений. В этот момент некоторые решили искупаться голышом в близлежащем озере Павин, неоднократно выкрикивая: «Бурбаки!» По окончании первой официальной конференции группа переименовала себя в «Бурбаки» в честь генерала и розыгрыша, как вспоминают Вейль и другие. В 1935 году группа также решила установить математическую личность своего коллективного псевдонима, опубликовав статью под его именем. Необходимо было выбрать имя; для публикации любой статьи требовалось полное имя. В связи с этим жена Рене де Посселя, Эвелин, «крестила» псевдоним именем Николя, став «крестной матерью» Бурбаки. Это позволило опубликовать вторую статью с материалами, приписываемыми Бурбаки, уже под «его» собственным именем. Отец Анри Картана, Эли Картан, также математик и сторонник группы, представил статью издателям, которые приняли ее. Во время основания Бурбаки Рене де Поссель и его жена Эвелин находились в процессе развода. Эвелин вышла замуж за Андре Вейля в 1937 году, а де Поссель вскоре после этого покинул коллектив Бурбаки. Эта последовательность событий вызвала предположения, что де Поссель покинул группу из-за повторного брака, однако это утверждение также подвергалось критике как возможно исторически неточное, поскольку, как предполагается, де Поссель оставался активным участником Бурбаки еще много лет после женитьбы Андре на Эвелин.

During their time together at Strasbourg, Weil and Cartan regularly complained to each other regarding the inadequacy of available course material for calculus instruction. In his memoir Apprenticeship, Weil described his solution in the following terms: "One winter day toward the end of 1934, I came upon a great idea that would put an end to these ceaseless interrogations by my comrade. 'We are five or six friends', I told him some time later, 'who are in charge of the same mathematics curriculum at various universities. Let us all come together and regulate these matters once and for all, and after this, I shall be delivered of these questions.' I was unaware of the fact that Bourbaki was born at that instant." Cartan confirmed the account. The first, unofficial meeting of the Bourbaki collective took place at noon on Monday, 10 December 1934, at the Café Grill Room A. Capoulade, Paris, in the Latin Quarter. Six mathematicians were present: Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel, and André Weil. Most of the group were based outside Paris and were in town to attend the Julia Seminar, a conference prepared with the help of Gaston Julia at which several future Bourbaki members and associates presented. The group resolved to collectively write a treatise on analysis, for the purpose of standardizing calculus instruction in French universities. The project was especially meant to supersede the text of Édouard Goursat, which the group found to be badly outdated, and to improve its treatment of Stokes' Theorem. The founders were also motivated by a desire to incorporate ideas from the Göttingen school, particularly from exponents Hilbert, Noether and B. L. van der Waerden. Further, in the aftermath of World War I, there was a certain nationalist impulse to save French mathematics from decline, especially in competition with Germany. As Dieudonné stated in an interview, "Without meaning to boast, I can say that it was Bourbaki that saved French mathematics from extinction." Jean Delsarte was particularly favorable to the collective aspect of the proposed project, observing that such a working style could insulate the group's work against potential later individual claims of copyright. As various topics were discussed, Delsarte also suggested that the work begin in the most abstract, axiomatic terms possible, treating all of mathematics prerequisite to analysis from scratch. The group agreed to the idea, and this foundational area of the proposed work was referred to as the "Abstract Packet" (Paquet Abstrait). Working titles were adopted: the group styled itself as the Committee for the Treatise on Analysis, and their proposed work was called the Treatise on Analysis (Traité d'analyse). In all, the collective held ten preliminary biweekly meetings at A. Capoulade before its first official, founding conference in July 1935. During this early period, Paul Dubreil, Jean Leray and Szolem Mandelbrojt joined and participated. Dubreil and Leray left the meetings before the following summer, and were respectively replaced by new participants Jean Coulomb and Charles Ehresmann. The group's official founding conference was held in Besse en Chandesse, from 10 to 17 July 1935. At the time of the official founding, the membership consisted of the six attendees at the first lunch of 10 December 1934, together with Coulomb, Ehresmann and Mandelbrojt. On 16 July, the members took a walk to alleviate the boredom of unproductive proceedings. During the malaise, some decided to skinny dip in the nearby Lac Pavin, repeatedly yelling "Bourbaki!" At the close of the first official conference, the group renamed itself "Bourbaki", in reference to the general and prank as recalled by Weil and others. During 1935, the group also resolved to establish the mathematical personhood of their collective pseudonym by getting an article published under its name. A first name had to be decided; a full name was required for publication of any article. To this end, René de Possel's wife Eveline "baptized" the pseudonym with the first name of Nicolas, becoming Bourbaki's "godmother". This allowed for the publication of a second article with material attributed to Bourbaki, this time under "his" own name. Henri Cartan's father Élie Cartan, also a mathematician and supportive of the group, presented the article to the publishers, who accepted it. At the time of Bourbaki's founding, René de Possel and his wife Eveline were in the process of divorcing. Eveline remarried to André Weil in 1937, and de Possel left the Bourbaki collective some time later. This sequence of events has caused speculation that de Possel left the group because of the remarriage, however this suggestion has also been criticized as possibly historically inaccurate, since de Possel is supposed to have remained active in Bourbaki for years after André's marriage to Eveline.

Вторая мировая война

Работа Бурбаки значительно замедлилась во время Второй мировой войны, хотя группа выжила и впоследствии вновь расцвела. Некоторые члены Бурбаки были евреями и поэтому вынуждены были бежать из определенных регионов Европы в определенные периоды времени. Вейль, будучи евреем, провел лето 1939 года в Финляндии со своей женой Эвелин в качестве гостей Ларса Ахлфорса. Из-за их путешествия вблизи границы, супруги были заподозрены финскими властями в шпионаже в пользу Советского Союза в начале Зимней войны, и Андре был впоследствии арестован. Согласно одной истории, Вейля должны были казнить, если бы не случайное упоминание его дела Рольфу Неванлинне, который попросил смягчить приговор. Однако достоверность этой детали вызывает сомнения. Вейль прибыл в Соединенные Штаты в 1941 году, затем преподавал в Сан-Паулу с 1945 по 1947 год, после чего работал в Чикагском университете с 1947 по 1958 год и, наконец, в Институте перспективных исследований в Принстоне, где и провел остаток своей карьеры. Хотя Вейль поддерживал связь с коллективом Бурбаки и периодически посещал Европу и группу после войны, его уровень участия в деятельности Бурбаки так и не вернулся к тому, каким он был на момент основания. Лоран Шварц, член второго поколения Бурбаки, также был евреем и устроился на подработку учителем математики в сельской Франции, оккупированной режимом Виши. Переезжая из деревни в деревню, Шварц планировал свои перемещения, чтобы избежать захвата нацистами. Однажды Шварц оказался запертым на ночь в одной деревне, так как ожидаемый транспорт домой не прибыл. В городе было две гостиницы: комфортабельная и хорошо обставленная, и очень бедная, без отопления и с плохими кроватями. Инстинкт подсказал Шварцу остановиться в бедной гостинице; ночью нацисты совершили рейд на хорошую гостиницу, оставив бедную гостиницу без внимания. Тем временем Жан Делсарте, католик, был мобилизован в 1939 году в качестве капитана батареи акустической разведки. Ему пришлось возглавить отступление подразделения с северо-востока Франции на юг. Проходя недалеко от швейцарской границы, Делсарте услышал, как солдат сказал: «Мы – армия Бурбаки»; отступление генерала XIX века было известно французским войскам. Делсарте случайно возглавил отступление, напоминающее отступление, в честь которого был назван коллектив.

Bourbaki's work slowed significantly during the Second World War, though the group survived and later flourished. Some members of Bourbaki were Jewish and therefore forced to flee from certain parts of Europe at certain times. Weil, who was Jewish, spent the summer of 1939 in Finland with his wife Eveline, as guests of Lars Ahlfors. Due to their travel near the border, the couple were suspected as Soviet spies by Finnish authorities near the onset of the Winter War, and André was later arrested. According to an anecdote, Weil was to have been executed but for the passing mention of his case to Rolf Nevanlinna, who asked that Weil's sentence be commuted. However, the accuracy of this detail is dubious. Weil reached the United States in 1941, later taking another teaching stint in São Paulo from 1945 to 1947 before settling at the University of Chicago from 1947 to 1958 and finally the Institute for Advanced Study in Princeton, where he spent the remainder of his career. Although Weil remained in touch with the Bourbaki collective and visited Europe and the group periodically following the war, his level of involvement with Bourbaki never returned to that at the time of founding. Second generation Bourbaki member Laurent Schwartz was also Jewish and found pickup work as a math teacher in rural Vichy France. Moving from village to village, Schwartz planned his movements in order to evade capture by the Nazis. On one occasion Schwartz found himself trapped overnight in a certain village, as his expected transportation home was unavailable. There were two inns in town: a comfortable, well appointed one, and a very poor one with no heating and bad beds. Schwartz's instinct told him to stay at the poor inn; overnight, the Nazis raided the good inn, leaving the poor inn unchecked. Meanwhile, Jean Delsarte, a Catholic, was mobilized in 1939 as the captain of an audio reconnaissance battery. He was forced to lead the unit's retreat from the northeastern part of France toward the south. While passing near the Swiss border, Delsarte overheard a soldier say "We are the army of Bourbaki"; the 19th century general's retreat was known to the French. Delsarte had coincidentally led a retreat similar to that of the collective's namesake.

Послевоенные годы и по сей день

После войны Бурбаки укрепил план своей работы и перешел к продуктивной деятельности. В 1950-х и 1960-х годах Бурбаки регулярно публиковал тома «Элементов» и именно в этот период пользовался наибольшим влиянием. Со временем основатели группы постепенно уходили, их заменяли молодые специалисты, в том числе Жан Пьер Серр и Александр Гротендик. Серр, Гротендик и Лоран Шварц были удостоены медали Филдса в послевоенные годы – в 1954, 1966 и 1950 годах соответственно. Позднее Ален Коннес и Жан-Кристоф Йоккоз также получили эту медаль, в 1982 и 1994 годах соответственно. Позднейшее принятие научных наград противоречило взглядам некоторых из основателей. В 1930-х годах Вейль и Делсарте подали петицию против предложенной Жаном Перреном, лауреатом Нобелевской премии по физике, французской национальной научной «системы медалей». Вейль и Делсарте считали, что учреждение такой системы усилит неконструктивную мелочность и зависть в научном сообществе. Несмотря на это, группа Бурбаки ранее успешно обращалась к Перрену с просьбой о предоставлении государственного гранта для поддержки своей обычной деятельности. Как и основатели, Гротендик также негативно относился к наградам, хотя и по пацифистским соображениям. Несмотря на то, что Гротендик был удостоен медали Филдса в 1966 году, он отказался от участия в церемонии в Москве в знак протеста против советского правительства. В 1988 году Гротендик полностью отверг премию Крафорда, сославшись на отсутствие личной потребности в призовых деньгах, недостаток недавних значимых работ и общее недоверие к научному сообществу. Родившийся в семье еврейских анархистов, Гротендик пережил Холокост и быстро продвинулся в французском математическом сообществе, несмотря на неполное образование, полученное во время войны. Среди учителей Гротендика были основатели Бурбаки, поэтому он присоединился к группе. В период членства Гротендика Бурбаки столкнулся с тупиком в отношении своего фундаментального подхода. Гротендик выступал за переформулировку работы группы с использованием теории категорий в качестве теоретической базы, в противовес теории множеств. В конечном итоге предложение было отклонено, отчасти потому, что группа уже взяла на себя обязательство по жесткому плану последовательного изложения материала, с несколькими уже опубликованными томами. После этого Гротендик покинул Бурбаки «в гневе». С 1980-х по 2000-е годы Бурбаки публиковался крайне редко, что привело к тому, что в 1998 году Le Monde объявил коллектив «мертвым». Однако в 2012 году Бурбаки возобновил публикацию «Элементов» с пересмотренной восьмой главой алгебры, первыми четырьмя главами новой книги по алгебраической топологии и двумя томами по спектральной теории (первый из которых является расширенной и переработанной версией издания 1967 года, а второй состоит из трех новых глав). Кроме того, в тексте двух последних томов сообщается, что в настоящее время готовятся книги по теории категорий и модульным формам (в дополнение к второй части книги по алгебраической топологии).

Following the war, Bourbaki had solidified the plan of its work and settled into a productive routine. Bourbaki regularly published volumes of the Éléments during the 1950s and 1960s, and enjoyed its greatest influence during this period. Over time the founding members gradually left the group, slowly being replaced with younger newcomers including Jean Pierre Serre and Alexander Grothendieck. Serre, Grothendieck and Laurent Schwartz were awarded the Fields Medal during the postwar period, in 1954, 1966 and 1950 respectively. Later members Alain Connes and Jean Christophe Yoccoz also received the Fields Medal, in 1982 and 1994 respectively. The later practice of accepting scientific awards contrasted with some of the founders' views. During the 1930s, Weil and Delsarte petitioned against a French national scientific "medal system" proposed by the Nobel physics laureate Jean Perrin. Weil and Delsarte felt that the institution of such a system would increase unconstructive pettiness and jealousy in the scientific community. Despite this, the Bourbaki group had previously successfully petitioned Perrin for a government grant to support its normal operations. Like the founders, Grothendieck was also averse to awards, albeit for pacifist reasons. Although Grothendieck was awarded the Fields Medal in 1966, he declined to attend the ceremony in Moscow, in protest of the Soviet government. In 1988, Grothendieck rejected the Crafoord Prize outright, citing no personal need to accept prize money, lack of recent relevant output, and general distrust of the scientific community. Born to Jewish anarchist parentage, Grothendieck survived the Holocaust and advanced rapidly in the French mathematical community, despite poor education during the war. Grothendieck's teachers included Bourbaki's founders, and so he joined the group. During Grothendieck's membership, Bourbaki reached an impasse concerning its foundational approach. Grothendieck advocated for a reformulation of the group's work using category theory as its theoretical basis, as opposed to set theory. The proposal was ultimately rejected in part because the group had already committed itself to a rigid track of sequential presentation, with multiple already published volumes. Following this, Grothendieck left Bourbaki "in anger". From the 1980s through the 2000s, Bourbaki published very infrequently, with the result that in 1998 Le Monde pronounced the collective "dead". However, in 2012 Bourbaki resumed the publication of the Éléments with a revised chapter 8 of algebra, the first 4 chapters of a new book on algebraic topology, and two volumes on spectral theory (the first of which is an expanded and revised version of the edition of 1967 while the latter consist of three new chapters). Moreover, the text of the two latest volumes announces that books on category theory and modular forms are currently under preparation (in addition to the latter part of the book on algebraic topology).

Метод работы

Bourbaki проводит периодические конференции с целью расширения Éléments; эти конференции являются центральной деятельностью рабочей жизни группы. Подкомитеты назначаются для написания проектов по конкретным материалам, которые затем представляются, активно обсуждаются и перерабатываются на конференциях. Для публикации любого материала требуется единогласное согласие. На создание одного материала может потребоваться шесть или более редакций в течение нескольких лет, а некоторые проекты никогда не доводятся до завершения. Поэтому процесс написания работ Bourbaki был описан как "Сизифовский". Хотя метод медленный, он приводит к конечному продукту, который удовлетворяет стандартам группы по математической строгости, одному из главных приоритетов Bourbaki в трактате. Акцент Bourbaki на строгость был реакцией на стиль Анри Пуанкаре, который подчеркивал важность свободной математической интуиции в ущерб тщательной проработке изложения. В первые годы проекта Диедонне служил секретарем группы, создав несколько окончательных редакций, которые в конечном итоге были опубликованы. Для этого Диедонне использовал безличный стиль письма, который не был ему свойственен, но который применялся для создания материала, приемлемого для всей группы. Диедонне сохранял свой личный стиль для своих собственных работ; как и все члены Bourbaki, Диедонне также публиковал материалы под своим именем, включая девятитомный Éléments d'analyse, работу, явно ориентированную на анализ и соответствующую первоначальным намерениям Bourbaki. Большинство окончательных редакций Éléments Bourbaki тщательно избегали использования иллюстраций, предпочитая формальное изложение, основанное только на тексте и формулах. Исключением было рассмотрение групп и алгебр Ли (особенно в главах 4–6), в которых использовались диаграммы и иллюстрации. Включение иллюстраций в эту часть работы было связано с Армандом Борелем. Борель был представителем швейцарского меньшинства в преимущественно французском коллективе и самокритично называл себя "швейцарским крестьянином", объясняя, что визуальное обучение важно для швейцарского национального характера. Когда бывшего члена Пьера Картье спросили о недостатке иллюстраций в работе, он ответил:

Bourbaki holds periodic conferences for the purpose of expanding the Éléments; these conferences are the central activity of the group's working life. Subcommittees are assigned to write drafts on specific material, and the drafts are later presented, vigorously debated, and re drafted at the conferences. Unanimous agreement is required before any material is deemed acceptable for publication. A given piece of material may require six or more drafts over a period of several years, and some drafts are never developed into completed work. Bourbaki's writing process has therefore been described as "Sisyphean". Although the method is slow, it yields a final product which satisfies the group's standards for mathematical rigour, one of Bourbaki's main priorities in the treatise. Bourbaki's emphasis on rigour was a reaction to the style of Henri Poincaré, who stressed the importance of free flowing mathematical intuition at the cost of thorough presentation. During the project's early years, Dieudonné served as the group's scribe, authoring several final drafts which were ultimately published. For this purpose, Dieudonné adopted an impersonal writing style which was not his own, but which was used to craft material acceptable to the entire group. Dieudonné reserved his personal style for his own work; like all members of Bourbaki, Dieudonné also published material under his own name, including the nine volume Éléments d'analyse, a work explicitly focused on analysis and of a piece with Bourbaki's initial intentions. Most of the final drafts of Bourbaki's Éléments carefully avoided using illustrations, favoring a formal presentation based only in text and formulas. An exception to this was the treatment of Lie groups and Lie algebras (especially in chapters 4–6), which did make use of diagrams and illustrations. The inclusion of illustration in this part of the work was due to Armand Borel. Borel was minority Swiss in a majority French collective, and self deprecated as "the Swiss peasant", explaining that visual learning was important to the Swiss national character. When asked about the dearth of illustration in the work, former member Pierre Cartier replied:

Конференции исторически проводились в тихих сельских местностях. Эти места контрастируют с оживленными, а порой и ожесточенными дебатами, которые там проходили. Лоран Шварц рассказал об эпизоде, в котором Вейль ударил Картана по голове черновиком. Владелец отеля увидел это и предположил, что группа распадется, но, по словам Шварца, "мир был восстановлен в течение десяти минут". Исторический, конфронтационный стиль дебатов внутри Bourbaki был частично приписан Вейлю, который считал, что новые идеи имеют больше шансов появиться в конфронтации, чем в упорядоченной дискуссии. Шварц рассказал еще один показательный случай: Диедонне настаивал на том, что топологические векторные пространства должны быть представлены в работе до интегрального исчисления, и всякий раз, когда кто-то предлагал изменить порядок, он громко угрожал уйти в отставку. Это стало шуткой среди членов группы; жена Роджера Годемона, Соня, посетила конференцию, зная об этом, и попросила доказательства. Когда Соня прибыла на собрание, один из участников предложил, чтобы интегральное исчисление было представлено перед топологическими векторными пространствами, что вызвало обычную реакцию Диедонне. Несмотря на историческую культуру горячих споров, Bourbaki процветал в середине двадцатого века. Способность Bourbaki поддерживать такой коллективный, критический подход была описана как "нечто необычное", удивляющее даже его собственных членов. По словам основателя Анри Картана, "То, что конечный продукт вообще получается, – это своего рода чудо, которое никто из нас не может объяснить". Предполагается, что группа выжила, потому что ее члены твердо верили в важность своего коллективного проекта, несмотря на личные разногласия. Когда группа преодолевала трудности или разрабатывала идею, которая им нравилась, они иногда говорили l'esprit a soufflé ("дух дышит"). Историк Лилиан Болье отметила, что "дух" – будь то аватар, групповая ментальность в действии или сам "Bourbaki" – был частью внутренней культуры и мифологии, которую группа использовала для формирования своей идентичности и выполнения работы.

The conferences have historically been held at quiet rural areas. These locations contrast with the lively, sometimes heated debates which have occurred. Laurent Schwartz reported an episode in which Weil slapped Cartan on the head with a draft. The hotel's proprietor saw the incident and assumed that the group would split up, but according to Schwartz, "peace was restored within ten minutes." The historical, confrontational style of debate within Bourbaki has been partly attributed to Weil, who believed that new ideas have a better chance of being born in confrontation than in an orderly discussion. Schwartz related another illustrative incident: Dieudonné was adamant that topological vector spaces must appear in the work before integration, and whenever anyone suggested that the order be reversed, he would loudly threaten his resignation. This became an in joke among the group; Roger Godement's wife Sonia attended a conference, aware of the idea, and asked for proof. As Sonia arrived at a meeting, a member suggested that integration must appear before topological vector spaces, which triggered Dieudonné's usual reaction. Despite the historical culture of heated argument, Bourbaki thrived during the middle of the twentieth century. Bourbaki's ability to sustain such a collective, critical approach has been described as "something unusual", surprising even its own members. In founder Henri Cartan's words, "That a final product can be obtained at all is a kind of miracle that none of us can explain." It has been suggested that the group survived because its members believed strongly in the importance of their collective project, despite personal differences. When the group overcame difficulties or developed an idea that they liked, they would sometimes say l'esprit a soufflé ("the spirit breathes"). Historian Liliane Beaulieu noted that the "spirit"—which might be an avatar, the group mentality in action, or Bourbaki "himself"—was part of an internal culture and mythology which the group used to form its identity and perform work.

Юмор

Юмор был важным аспектом культуры группы, начиная с воспоминаний Вейля о студенческих розыгрышах с участием "Бурбаки" и "Полдевии". Например, в 1939 году группа опубликовала объявление о свадьбе "Бетти Бурбаки" (дочь Николаса) с одним "Х. Петардом" (Х. "Петарды" или "Гектор Петард"), "охотником на львов". Гектор Петард сам был псевдонимом, но не изначально придуманным членами Бурбаки. Прозвище Петард было придумано Ральфом П. Боасом, Фрэнком Смитхисом и другими математиками из Принстона, которые были осведомлены о проекте Бурбаки; вдохновленные ими, математики из Принстона опубликовали статью о "математике охоты на львов". После встречи с Боасом и Смитхисом Вейл составил объявление о свадьбе, которое содержало несколько математических каламбуров. Внутренний информационный бюллетень Бурбаки La Tribu иногда издавался с юмористическими подзаголовками для описания данной конференции, например, "Необычный конгресс почтенных старцев" (где любой старше 30 лет считался старцем) или "Конгресс моторизации бегущего осла" (выражение, используемое для описания рутинного разворачивания математического доказательства или процесса). В 1940–1950-х годах Американское математическое общество получило заявки на индивидуальное членство от Бурбаки. Они были отклонены Дж. Р. Клайном, который понимал, что данная структура является коллективом, и пригласил их повторно подать заявку на институциональное членство. В ответ Бурбаки распространил слух, что Ральф Боас не был реальным человеком, а коллективным псевдонимом редакторов Mathematical Reviews, с которыми Боас был связан. Причина, по которой они выбрали Боаса, заключалась в том, что он знал группу в ее ранние дни, когда они были менее строги в отношении секретности, и он описал их как коллектив в статье для Encyclopædia Britannica. В ноябре 1968 года во время одного из семинаров был опубликован шуточный некролог Николя Бурбаки. Группа разработала некоторые варианты слова "Бурбаки" для внутреннего использования. Существительное "Бурбаки" могло относиться к группе в целом или к отдельному члену, например, "Андре Вейль был Бурбаки". "Бурбакист" иногда используется для обозначения членов.

Humor has been an important aspect of the group's culture, beginning with Weil's memories of the student pranks involving "Bourbaki" and "Poldevia". For example, in 1939 the group released a wedding announcement for the marriage of "Betti Bourbaki" (daughter of Nicolas) to one "H. Pétard" (H. "Firecrackers" or "Hector Pétard"), a "lion hunter". Hector Pétard was itself a pseudonym, but not one originally coined by the Bourbaki members. The Pétard moniker was originated by Ralph P. Boas, Frank Smithies and other Princeton mathematicians who were aware of the Bourbaki project; inspired by them, the Princeton mathematicians published an article on the "mathematics of lion hunting". After meeting Boas and Smithies, Weil composed the wedding announcement, which contained several mathematical puns. Bourbaki's internal newsletter La Tribu has sometimes been issued with humorous subtitles to describe a given conference, such as "The Extraordinary Congress of Old Fogies" (where anyone older than 30 was considered a fogy) or "The Congress of the Motorization of the Trotting Ass" (an expression used to describe the routine unfolding of a mathematical proof, or process). During the 1940s–1950s, the American Mathematical Society received applications for individual membership from Bourbaki. They were rebuffed by J. R. Kline who understood the entity to be a collective, inviting them to re apply for institutional membership. In response, Bourbaki floated a rumor that Ralph Boas was not a real person, but a collective pseudonym of the editors of Mathematical Reviews with which Boas had been affiliated. The reason for targeting Boas was because he had known the group in its earlier days when they were less strict with secrecy, and he'd described them as a collective in an article for the Encyclopædia Britannica. In November 1968, a mock obituary of Nicolas Bourbaki was released during one of the seminars. The group developed some variants of the word "Bourbaki" for internal use. The noun "Bourbaki" might refer to the group proper or to an individual member, e. g. "André Weil was a Bourbaki." "Bourbakist" is sometimes used to refer to members

Работы

Работа Бурбаки включает серию учебников, серию печатных конспектов лекций, статьи в научных журналах и внутреннюю информационную рассылку. Серия учебников «Элементы математики» является центральным трудом группы. Семинар Бурбаки — это цикл лекций, регулярно проводимый под руководством группы, а доклады, представленные на семинаре, также публикуются в виде конспектов. Статьи в журналах публиковались от имени Бурбаки, а группа издает внутренний бюллетень La Tribu (Племя), который распространяется среди действующих и бывших членов.

Семинара Бурбаки

Семинар Бурбаки проводится регулярно с 1948 года, и лекции представляют как приглашенные докладчики, так и члены коллектива. К настоящему времени Семинар Бурбаки насчитывает более тысячи записанных лекций, опубликованных в письменном виде и пронумерованных в хронологическом порядке. На момент лекции, прочитанной Жаном Пьером Серром в июне 1999 года на тему групп Ли, общее число лекций в серии составляло 864, что соответствует примерно 10 000 страницам печатного текста.

Влияние и критика

Бурбаки оказал значительное влияние на математику XX века и в некоторой степени повлиял на гуманитарные науки и искусство, хотя масштаб этого влияния в последнем случае остаётся предметом дискуссий. Группу хвалили и критиковали за её способ изложения, стиль работы и выбор математических областей.