Введение

Форма с тремя равными сторонами

В геометрии равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют одинаковую длину. В общепринятой евклидовой геометрии равносторонний треугольник также равноугольный, то есть все три внутренних угла равны между собой и каждый из них равен 60°. Он также является правильным многоугольником, поэтому его также называют правильным треугольником.

Характеристики

Треугольник со сторонами , , , полупериметром , площадью , вневписанными окружностями с радиусами , , (касательными к сторонам , , соответственно), и где и – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, является равносторонним тогда и только тогда, когда верно хотя бы одно из утверждений в следующих девяти категориях. Следовательно, это свойства, уникальные для равносторонних треугольников, и знание о том, что хотя бы одно из них верно, напрямую указывает на то, что мы имеем дело с равносторонним треугольником.

Центр совпадающего треугольника

Каждый центр треугольника в равностороннем треугольнике совпадает с его центроидом, что означает, что равносторонний треугольник – единственный треугольник, не имеющий линии Эйлера, соединяющей некоторые из его центров. Для некоторых пар центров треугольника сам факт их совпадения достаточен для того, чтобы треугольник был равносторонним. В частности:

Треугольник является равносторонним, если любые два из описанной окружности, вписанной окружности, центроида или ортоцентра совпадают. Он также равносторонний, если его описанный центр совпадает с точкой Нагеля, или если его вписанный центр совпадает с девятиточечным центром.

Шесть треугольников, сформированных путем разделения на медианы

Для любого треугольника три медианы разделяют его на шесть меньших треугольников. Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда любые три из этих меньших треугольников имеют либо одинаковый периметр, либо одинаковый радиус вписанной окружности. Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда центры описанных окружностей любых трех из меньших треугольников находятся на одинаковом расстоянии от центроида. Теорема Помпею утверждает, что если точка является произвольной точкой в плоскости равностороннего треугольника, но не лежит на его описанной окружности, то существует треугольник со сторонами длины , , и . То есть, , , и удовлетворяют неравенству треугольника, согласно которому сумма любых двух из них больше третьей. Если точка лежит на описанной окружности, то сумма двух меньших сторон равна наибольшей, и треугольник вырождается в отрезок, этот случай известен как теорема Ван Шутена.

Геометрическая конструкция

Равносторонний треугольник легко построить с помощью линейки и циркуля, поскольку 3 является числом Ферма. Проведите прямую линию, установите острие циркуля на один из ее концов и начертите дугу от этой точки до другого конца отрезка. Повторите с другой стороны линии. Наконец, соедините точку, где две дуги пересекаются, с каждым концом отрезка. Альтернативный способ – начертить окружность с заданным радиусом, установить острие циркуля на окружность и начертить другую окружность с тем же радиусом. Эти две окружности пересекутся в двух точках. Равносторонний треугольник можно построить, взяв центры обеих окружностей и любую из точек их пересечения. В обоих методах в качестве побочного продукта образуется везика писцис. Доказательство того, что полученная фигура является равносторонним треугольником, содержится в первом предложении Книги I «Начал» Евклида.

Выведение формулы площади

Формулу площади можно вывести непосредственно, используя теорему Пифагора или тригонометрию, выразив её через длину стороны.