Кіріспе
Үш тең жақты үшбұрыш Геометрияда теңжақты үшбұрыш – барлық үш жағының ұзындығы бірдей үшбұрыш. Евклид геометриясында теңжақты үшбұрыш теңбұрышты болады, яғни оның барлық үш ішкі бұрышы да бір-біріне тең және әрқайсысы 60 градусқа жетеді. Бұл сонымен қатар дұрыс көпбұрыш, сондықтан оны дұрыс үшбұрыш деп те атайды.
In geometry, an equilateral triangle is a triangle in which all three sides have the same length. In the familiar Euclidean geometry, an equilateral triangle is also equiangular; that is, all three internal angles are also congruent to each other and are each 60°. It is also a regular polygon, so it is also referred to as a regular triangle.
Қасиеттері
Жақтары a, b, c, жартылай периметрі s, ауданы A, сырттай шеңберге ішталған радиустер r<sub>a</sub>, r<sub>b</sub>, r<sub>c</sub> (келесі жақтарға сәйкес тангенс ретінде: a, b, c), және сырттай және іштей шеңберлердің радиустары R және r болса, үшбұрыш теңқабырлы болады, егер және тек қана келесі тоғыз санаттағы мәлімдемелердің біреуі дұрыс болса. Осылайша, бұл қасиеттер теңқабырлы үшбұрыштарға ғана тән. Кез келген біреуінің дұрыс екенін білу тікелей теңқабырлы үшбұрышқа ие екенімізді көрсетеді.
Үшбұрыштың ортасы
Теңқабырлы үшбұрыштың кез келген үшбұрыш орталығы оның центроидымен беттеседі, яғни теңқабырлы үшбұрыш – кейбір орталықтарын байланыстыратын Эйлер сызығы жоқ жалғыз үшбұрыш. Кейбір үшбұрыш орталықтарының жұптары үшін, олардың беттесуі үшбұрыштың теңқабырлы екенін қамтамасыз етуге жеткілікті. Атап айтқанда:
Шеңбер орталығы, ішкі орталық, центроид немесе биік орталықтың кез келген екеуі беттессе, үшбұрыш теңқабырлы болады. Сондай-ақ, егер оның шеңбер орталығы Нагель нүктесімен, немесе оның ішкі орталығы тоғыздық орталықпен беттессе, онда ол теңқабырлы болады.
Орталықпен бөліп құрылған алты үшбұрыш
Кез келген үшбұрыштың үш медианасы үшбұрышты алты кіші үшбұрышқа бөледі. Үшбұрыш теңқабырлы болса және тек сонда ғана кез келген үш кіші үшбұрыштың периметрі немесе іштей сызылған шеңбердің радиусы бірдей болады. Үшбұрыш теңқабырлы болса және тек сонда ғана кез келген үш кіші үшбұрыштың орталары ауцентрге бірдей қашықтықта орналасқан. Помпею теоремасына сәйкес, егер нүкте теңқабырлы үшбұрыштың жазықтығында, бірақ оның сырттай шеңберінде жатпаса, онда қабырғалары ұзындығы a, b және c болатын үшбұрыш табылады. Яғни, a, b және c үшбұрыш теңсіздігін қанағаттандырады, яғни кез келген екі қабырғасының қосындысы үшінші қабырғасынан үлкен. Егер нүкте сырттай шеңберде жатса, онда екі кіші қабырғаның қосындысы ең үлкеніне тең болады және үшбұрыш түзу сызыққа айналады, бұл жағдай Ван Шутен теоремасы деп аталады.
Геометриялық құрылыс
Теңқабырлы үшбұрышты тура сызық пен циркуль көмегімен оңай салуға болады, себебі 3 – Ферма саны. Түзу сызық салыңыз, циркулінің ұшын сызықтың бір басына қойып, сол нүктеден сызық кесіндісінің екінші басына дейін доға жасаңыз. Сызықтың екінші жағында да осы әрекетті қайталаңыз. Соңында, екі доғаның қиылысқан нүктесін сызықтың екі басына қосыңыз. Басқа бір әдіс – радиусы бар шеңбер салу, содан кейін циркулінің ұшын шеңберге қойып, сол радиуста басқа шеңбер салыңыз. Екі шеңбер екі нүктеде қиылысады. Екі шеңбердің орталарын және қиылысқан нүктелердің кез келген біреуін алып, теңқабырлы үшбұрыс сала аласыз. Екі әдісте де "vesica piscis" пішіні пайда болады. Салынған фигураның теңқабырлы үшбұрыш екенін Евклидтің "Элементтер" кітабының бірінші теоремасы дәлелдейді.
Аумақтық формуланың алынуы
Жақ ұзындығы арқылы ауданды табу формуласын Пифагор теоремасын қолдану арқылы немесе тригонометрия көмегімен тікелей шығаруға болады.