Рациональные эллиптические кривые и модулярные формы

Введение

Связывает рациональные эллиптические кривые с модульными формами.

Теорема модульности (ранее известная как гипотеза Таниямы — Шимуры, гипотеза Таниямы — Шимуры — Вейля или гипотеза модульности для эллиптических кривых) утверждает, что эллиптические кривые над полем рациональных чисел связаны с модульными формами особым образом. Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор доказали теорему модульности для полустабильных эллиптических кривых, чего было достаточно для доказательства последней теоремы Ферма. Впоследствии, серия работ бывших учеников Уайлса — Брайана Конрада, Фреда Даймонда и Ричарда Тейлора, завершившаяся совместной работой с Кристофом Брейлем, позволила расширить методы Уайлса и доказать полную теорему модульности в 2001 году.

Заявление

Теорема утверждает, что любая эллиптическая кривая над ℚ может быть получена посредством рационального отображения с целочисленными коэффициентами из классической модулярной кривой для некоторого целого числа ; это кривая с целочисленными коэффициентами и явным определением. Это отображение называется модулярной параметризацией уровня . Если является наименьшим целым числом, для которого можно найти такую параметризацию (которое, согласно теореме о модулярности, теперь известно как число, называемое проводником), то параметризацию можно определить через отображение, порожденное особым типом модулярной формы веса два и уровня , нормализованной новой формой с целочисленным разложением в ряд, за которым, при необходимости, следует изогения.

История

Ютака Танияма сформулировал предварительную (несколько неточную) версию гипотезы на международном симпозиуме по алгебраической теории чисел в Токио и Никко в 1955 году. Горо Шимура и Танияма работали над повышением её строгости до 1957 года. Андре Вейль заново открыл гипотезу и показал в 1967 году, что она следует из (предполагаемых) функциональных уравнений для некоторых скрученных рядов эллиптической кривой; это было первым серьёзным свидетельством того, что гипотеза может быть верной. Вейль также показал, что кондуктор эллиптической кривой должен соответствовать уровню соответствующей модулярной формы. Гипотеза Таниямы — Шимуры — Вейля стала частью программы Ленглендса. Гипотеза привлекла значительное внимание, когда Герхард Фрей предположил в 1986 году, что она влечёт за собой последнюю теорему Ферма. Он сделал это, пытаясь показать, что любой контрпример к последней теореме Ферма подразумевал бы существование хотя бы одной немодулярной эллиптической кривой. Этот аргумент был завершён в 1987 году, когда Жан-Пьер Серр выявил недостающее звено (ныне известное как эпсилон-гипотеза или теорема Рибе) в первоначальной работе Фрея, а два года спустя Кен Рибе завершил доказательство эпсилон-гипотезы. Даже после того, как гипотеза Таниямы — Шимуры — Вейля получила серьёзное внимание, современные математики считали её чрезвычайно сложной для доказательства или даже недоступной для доказательства. Например, научный руководитель Уайлса Джон Коутс утверждает, что она казалась «недоказуемой», а Кен Рибе считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые верили, что [она] совершенно недоступна». В 1995 году Эндрю Уайлс, при некоторой помощи Ричарда Тейлора, доказал гипотезу Таниямы — Шимуры — Вейля для всех полустабильных эллиптических кривых. Уайлс использовал это для доказательства последней теоремы Ферма, а полная гипотеза Таниямы — Шимуры — Вейля была окончательно доказана Даймондом, Конрадом, Даймондом и Тейлором, а также Брейем, Конрадом, Даймондом и Тейлором; опираясь на работу Уайлса, они постепенно решали оставшиеся случаи, пока полный результат не был доказан в 1999 году. После полного доказательства гипотеза стала известна как теорема о модулярности. Из теоремы о модулярности следуют несколько теорем в теории чисел, аналогичных последней теореме Ферма. Например, куб нельзя представить в виде суммы двух взаимно простых степеней th.

Yutaka Taniyama stated a preliminary (slightly incorrect) version of the conjecture at the 1955 international symposium on algebraic number theory in Tokyo and Nikkō. Goro Shimura and Taniyama worked on improving its rigor until 1957. André Weil rediscovered the conjecture, and showed in 1967 that it would follow from the (conjectured) functional equations for some twisted series of the elliptic curve; this was the first serious evidence that the conjecture might be true. Weil also showed that the conductor of the elliptic curve should be the level of the corresponding modular form. The Taniyama–Shimura–Weil conjecture became a part of the Langlands program. The conjecture attracted considerable interest when Gerhard Frey suggested in 1986 that it implies Fermat's Last Theorem. He did this by attempting to show that any counterexample to Fermat's Last Theorem would imply the existence of at least one non modular elliptic curve. This argument was completed in 1987 when Jean Pierre Serre identified a missing link (now known as the epsilon conjecture or Ribet's theorem) in Frey's original work, followed two years later by Ken Ribet's completion of a proof of the epsilon conjecture. Even after gaining serious attention, the Taniyama–Shimura–Weil conjecture was seen by contemporary mathematicians as extraordinarily difficult to prove or perhaps even inaccessible to proof. For example, Wiles's Ph. D. supervisor John Coates states that it seemed "impossible to actually prove", and Ken Ribet considered himself "one of the vast majority of people who believed [it] was completely inaccessible". In 1995, Andrew Wiles, with some help from Richard Taylor, proved the Taniyama–Shimura–Weil conjecture for all semistable elliptic curves. Wiles used this to prove Fermat's Last Theorem, and the full Taniyama–Shimura–Weil conjecture was finally proved by Diamond, Conrad, Diamond & Taylor; and Breuil, Conrad, Diamond & Taylor; building on Wiles's work, they incrementally chipped away at the remaining cases until the full result was proved in 1999. Once fully proven, the conjecture became known as the modularity theorem. Several theorems in number theory similar to Fermat's Last Theorem follow from the modularity theorem. For example: no cube can be written as a sum of two coprime th powers, .

Обобщения

Теорема модульности является частным случаем более общих гипотез, предложенных Робертом Лэнглендсом. Программа Лэнгленда направлена на сопоставление автоморфной формы или автоморфного представления (соответствующего обобщения модульной формы) более общим объектам арифметической алгебраической геометрии, таким как любая эллиптическая кривая над полем чисел. Большинство случаев этих расширенных гипотез пока не доказаны. В 2013 году Фрейтас, Ле Хунг и Сиксек доказали, что эллиптические кривые, определенные над полями вещественных квадратичных чисел, являются модулярными.