Логарифм по основанию 10 (десятичный логарифм): определение, обозначения (lg(x)), применение в вычислениях до появления калькуляторов. Математика, наука, инженерия.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Математическая функция
Mathematical function
В математике общий логарифм — это логарифм с основанием 10. log₁₀(x) или иногда Log(x) с заглавной буквы L; на калькуляторах он отображается как "log", но математики обычно подразумевают натуральный логарифм (логарифм с основанием e ≈ 2,71828), а не общий логарифм, когда пишут "log". Чтобы уменьшить эту неоднозначность, спецификация ISO 80000 рекомендует записывать log₁₀(x) как lg(x), а logₑ(x) как ln(x). До начала 1970-х годов портативные электронные калькуляторы были недоступны, а механические калькуляторы, способные выполнять умножение, были громоздкими, дорогими и не получили широкого распространения. Вместо этого таблицы десятичных логарифмов использовались в науке, технике и навигации, когда вычисления требовали большей точности, чем можно было достичь с помощью логарифмической линейки. Преобразуя умножение и деление в сложение и вычитание, использование логарифмов позволило избежать трудоемких и подверженных ошибкам вычислений на бумаге и карандаше. Таким образом, в таблицах логарифмов необходимо указывать только дробную часть. В таблицах общих логарифмов обычно приводится мантисса, с точностью до четырех или пяти десятичных знаков или более, для каждого числа в заданном диапазоне, например, от 1000 до 9999. Целую часть, называемую характеристикой, можно вычислить, просто подсчитав, на сколько знаков нужно сдвинуть десятичную точку, чтобы она оказалась сразу справа от первой значащей цифры. Например, логарифм 120 вычисляется следующим образом:
In mathematics, the common logarithm is the logarithm with base 10. log10(x), or sometimes Log(x) with a capital L; on calculators, it is printed as "log", but mathematicians usually mean natural logarithm (logarithm with base e ≈ 2.71828) rather than common logarithm when writing "log". To mitigate this ambiguity, the ISO 80000 specification recommends that log10(x) should be written lg(x), and loge(x) should be ln(x). Before the early 1970s, handheld electronic calculators were not available, and mechanical calculators capable of multiplication were bulky, expensive and not widely available. Instead, tables of base 10 logarithms were used in science, engineering and navigation—when calculations required greater accuracy than could be achieved with a slide rule. By turning multiplication and division to addition and subtraction, use of logarithms avoided laborious and error prone paper and pencil multiplications and divisions. Thus, log tables need only show the fractional part. Tables of common logarithms typically listed the mantissa, to four or five decimal places or more, of each number in a range, e. g. 1000 to 9999. The integer part, called the characteristic, can be computed by simply counting how many places the decimal point must be moved, so that it is just to the right of the first significant digit. For example, the logarithm of 120 is given by the following calculation:
Последнее число (0,07918) — дробная часть или мантисса общего логарифма 120 — можно найти в приведенной таблице. Положение десятичной точки в числе 120 указывает на то, что целая часть общего логарифма 120, то есть характеристика, равна 2.
The last number (0.07918)—the fractional part or the mantissa of the common logarithm of 120—can be found in the table shown. The location of the decimal point in 120 tells us that the integer part of the common logarithm of 120, the characteristic, is 2.
История
Общие логарифмы иногда также называют "бриггсовскими логарифмами" в честь Генри Бриггса, британского математика XVII века. В 1616 и 1617 годах Бриггс посетил Джона Непера в Эдинбурге, изобретателя того, что сейчас называется натуральными (с основанием *e*) логарифмами, чтобы предложить изменения в логарифмах Непера. В ходе этих встреч было согласовано изменение, предложенное Бриггсом, и после возвращения со второго визита он опубликовал первую тысячу своих логарифмов. Поскольку логарифмы по основанию 10 были наиболее удобны для вычислений, инженеры обычно просто писали "log(x)", подразумевая log₁₀(x). Математики же писали "log(x)", подразумевая logₑ(x) для натурального логарифма. Сегодня используются оба обозначения. Поскольку портативные электронные калькуляторы разрабатываются инженерами, а не математиками, они обычно следуют инженерной нотации. Таким образом, обозначение, при котором "ln(x)" используется для натурального логарифма, могло быть дополнительно популяризировано тем же изобретением, которое сделало использование "общих логарифмов" гораздо менее распространенным – электронными калькуляторами.
Common logarithms are sometimes also called "Briggsian logarithms" after Henry Briggs, a 17th century British mathematician. In 1616 and 1617, Briggs visited John Napier at Edinburgh, the inventor of what are now called natural (base e) logarithms, in order to suggest a change to Napier's logarithms. During these conferences, the alteration proposed by Briggs was agreed upon; and after his return from his second visit, he published the first chiliad of his logarithms. Because base 10 logarithms were most useful for computations, engineers generally simply wrote "log(x)" when they meant log10(x). Mathematicians, on the other hand, wrote "log(x)" when they meant loge(x) for the natural logarithm. Today, both notations are found. Since hand held electronic calculators are designed by engineers rather than mathematicians, it became customary that they follow engineers' notation. So the notation, according to which one writes "ln(x)" when the natural logarithm is intended, may have been further popularized by the very invention that made the use of "common logarithms" far less common, electronic calculators.