Введение
Полиэдр с восемью треугольными гранями
В геометрии октаэдр (октаэдры) — это полиэдр с восемью гранями. Этот термин чаще всего используется для обозначения правильного октаэдра, платонова тела, состоящего из восьми равносторонних треугольников, четыре из которых сходятся в каждой вершине. Правильный октаэдр является двойственным полиэдром кубу. Он также представляет собой усечённый тетраэдр, квадратную бипирамиду в любой из трёх взаимно перпендикулярных ориентаций и треугольную антипризму в любой из четырёх ориентаций. Октаэдр — это трёхмерный случай более общей концепции поперечного политопа. Правильный октаэдр является 3-шаром в метрике Манхэттена (ℓ).
Геометрические отношения
Используя стандартную номенклатуру для многогранников Джонсона, октаэдр называется квадратной бипирамидой.
Двойной
Октаэдр является двойным многогранником куба. Если октаэдр с длиной ребра *a* вписан в куб, то длина ребра куба равна *a√2*.
Звездное положение
Внутренность соединения двух двойных тетраэдров представляет собой октаэдр, и это соединение, называемое stella octangula, является его первой и единственной звездной формой. Соответственно, правильный октаэдр можно получить, отсекая от правильного тетраэдра четыре правильных тетраэдра вдвое меньшего линейного размера (то есть, путем выпрямления тетраэдра). Вершины октаэдра расположены в серединах ребер тетраэдра, и в этом смысле его связь с тетраэдром аналогична связи кубооктаэдра и икосидодекаэдра с другими платоновыми телами.
Снуб-октаэдр
Можно также разделить ребра октаэдра в отношении золотого сечения, чтобы определить вершины икосаэдра. Это делается путем размещения векторов вдоль ребер октаэдра таким образом, чтобы каждая грань ограничивалась циклом, а затем аналогичным образом разделяя каждое ребро в отношении золотого сечения вдоль направления его вектора. Существует пять октаэдров, которые таким образом определяют любой данный икосаэдр, и вместе они образуют правильное многогранник-составное тело. Икосаэдр, полученный таким способом, называется усечённым октаэдром.
Тесселяции
Октаэдры и тетраэдры могут чередоваться, образуя вершинную, реберную и граненую однородную замощение пространства. Это и регулярное замощение кубами – единственные подобные однородные соты в трехмерном пространстве.
Топология
Октаэдр 4-связен, что означает, что для разъединения оставшихся вершин необходимо удалить четыре вершины. Он является одним из всего четырех 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, что подразумевает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Другими тремя многогранниками, обладающими этим свойством, являются пятиугольная дипирамида, усечённый дисфеноид и нерегулярный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями.
Сети
Регулярный октаэдр имеет одиннадцать развёрток.
Октаэдры в искусстве и культуре
Особенно в ролевых играх, это тело известно как "d8", одна из наиболее распространенных многогранных костей. Если каждый отрезок октаэдра заменить одноомным резистором, сопротивление между противоположными вершинами составит 1,5 ома, а между соседними вершинами – 1 ом. Шесть музыкальных нот можно расположить на вершинах октаэдра таким образом, чтобы каждый отрезок представлял собой консонирующий диссонанс, а каждая грань – консонирующий аккорд; см. Гексания.
Тетраэдрическая октетная решетка
Пространственная решетчатая структура, состоящая из чередующихся тетраэдров и полуоктаэдров, полученная из тетраэдрально-октаэдрической сотовой структуры, была изобретена Бакминстером Фуллером в 1950-х годах. Она общепризнанно считается самой прочной строительной конструкцией для сопротивления консольным напряжениям.
Тригональная антипризма
Как тригональная антипризма, октаэдр имеет отношение к семейству гексагональной диэдральной симметрии.
Другие родственные многогранники
Усечение двух противоположных вершин приводит к образованию квадратного бифрустума. Октаэдр можно получить как частный случай 3D-суперэллипсоида, у которого все показатели степени равны 1.