Введение
Немецкий логик и математик (1871–1953)
Эрнст Фридрих Фердинанд Зермело (/zɜr/'/m//ɛ//l//oʊ/, ; 27 июля 1871 – 21 мая 1953) был немецким логиком и математиком, чья работа имеет важное значение для основ математики. Он известен своей ролью в разработке аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля и доказательством теоремы о полном упорядочении. Кроме того, его работа 1929 года о ранжировании шахматистов является первым описанием модели для попарного сравнения, которая продолжает оказывать глубокое влияние на различные прикладные области, использующие этот метод.
Жизнь
Эрнст Зермело окончил Берлинскую гимназию Луизенштадт (ныне Heinrich Schliemann Oberschule) в 1889 году. Затем он изучал математику, физику и философию в Берлинском университете, в Университете Галле и в Университете Фрайбурга. Он получил докторскую степень в 1894 году в Берлинском университете, защитив диссертацию по исчислению вариаций (Untersuchungen zur Variationsrechnung). Зермело остался в Берлинском университете, где был назначен ассистентом Планка, под руководством которого он начал изучать гидродинамику. В 1897 году Зермело перешел в Геттингенский университет, в то время ведущий центр математических исследований в мире, где в 1899 году он завершил хабилитацию. В 1910 году Зермело покинул Геттинген, получив назначение на кафедру математики в Цюрихском университете, с которой он ушел в 1916 году. В 1926 году он был назначен на почетную должность в Фрайбургском университете, от которой он отказался в 1935 году из-за несогласия с режимом Адольфа Гитлера. В конце Второй мировой войны, по его просьбе, Зермело был восстановлен в своей почетной должности во Фрайбурге.
Исследования в теории множеств
В 1900 году на парижской конференции Международного конгресса математиков Давид Гильберт бросил вызов математическому сообществу, представив свои знаменитые проблемы Гильберта – список из 23 нерешенных фундаментальных вопросов, которые математикам предстояло исследовать в течение следующего столетия. Первой из них, относящейся к теории множеств, была гипотеза континуума, сформулированная Кантором в 1878 году. При её формулировке Гильберт также упомянул о необходимости доказательства теоремы о хорошем упорядочении. Зермело начал работу над проблемами теории множеств под влиянием Гильберта и в 1902 году опубликовал свою первую работу, посвященную добавлению трансфинитных кардиналов. К тому времени он также обнаружил так называемый парадокс Рассела. В 1904 году ему удалось сделать первый шаг, предложенный Гильбертом в направлении гипотезы континуума, доказав теорему о хорошем упорядочении (любое множество можно хорошо упорядочить). Этот результат принес Зермело известность, и в 1905 году он был назначен профессором в Геттингене. Его доказательство теоремы о хорошем упорядочении, основанное на аксиоме множества мощностей и аксиоме выбора, не было принято всеми математиками, главным образом из-за того, что аксиома выбора являлась примером неконструктивной математики. В 1908 году Зермело удалось предложить улучшенное доказательство, использующее понятие Дедекинда о "цепи" множества, которое получило более широкое признание. Это было во многом связано с тем, что в том же году он также представил аксиоматизацию теории множеств. Зермело начал аксиоматизировать теорию множеств в 1905 году; в 1908 году он опубликовал свои результаты, несмотря на то, что не смог доказать непротиворечивость своей аксиоматической системы. Подробности об этой работе, включая оригинальные аксиомы с их нумерацией, можно найти в статье о теории множеств Зермело. В 1922 году Абрахам Френкель и Торальф Сколем независимо друг от друга усовершенствовали систему аксиом Зермело. Полученная система, известная как аксиомы Цермело–Френкеля (ZF), в настоящее время является наиболее распространенной системой для аксиоматической теории множеств.
Проблема навигации Зермело
Предложенная в 1931 году задача навигации Зермело — это классическая задача оптимального управления. Задача заключается в управлении движением лодки по водной поверхности из начальной точки О в пункт назначения D. Лодка способна развивать определенную максимальную скорость, и требуется найти наилучшую стратегию управления для достижения точки D за минимальное время. Если не учитывать внешние силы, такие как течение и ветер, оптимальной стратегией управления является постоянное направление лодки к точке D. В этом случае траектория лодки представляет собой отрезок прямой от O до D, что является тривиально оптимальным решением. Однако, при учете течения и ветра, если результирующая сила, действующая на лодку, не равна нулю, стратегия управления, оптимальная в отсутствие течения и ветра, не обеспечивает оптимальную траекторию.