Введение
Набор всех возможных исходов статистического испытания или эксперимента. В теории вероятностей пространство элементарных событий (также называемое пространством описания выборки, пространством возможностей или пространством исходов) эксперимента или случайного испытания – это множество всех возможных исходов этого эксперимента. Пространство элементарных событий обычно обозначается с использованием обозначений множеств, а возможные упорядоченные исходы, или элементарные события, перечисляются как элементы множества. Обычно пространство элементарных событий обозначается символами S, Ω или U (для "универсального множества"). Элементами пространства элементарных событий могут быть числа, слова, буквы или символы. Они также могут быть конечными, счетно бесконечными или несчетно бесконечными. Подмножество пространства элементарных событий является событием, обозначаемым как . Если исход эксперимента включен в , то событие наступило. Например, если эксперимент заключается в подбрасывании одной монеты, пространство элементарных событий – это множество , где исход означает, что монета выпала орлом, а исход означает, что монета выпала решкой. Возможные события: , , , и . Для подбрасывания двух монет пространство элементарных событий – это , где исход означает, что обе монеты выпали орлом, означает, что первая монета выпала орлом, а вторая – решкой, означает, что первая монета выпала решкой, а вторая – орлом, и означает, что обе монеты выпали решкой. Событие, при котором хотя бы одна из монет выпала орлом, задается как . Для подбрасывания одной шестигранной кости один раз, где интересующим результатом является количество выпавших очков, пространство элементарных событий – это . Хорошо определенное, непустое пространство элементарных событий является одним из трех компонентов в вероятностной модели (пространстве вероятностей). Другими двумя основными элементами являются хорошо определенное множество возможных событий (пространство событий), которое обычно является степенным множеством если дискретно, или σ-алгеброй на если оно непрерывно, и вероятность, присвоенная каждому событию (функция меры вероятности). Пространство элементарных событий можно визуально представить в виде прямоугольника, а исходы пространства элементарных событий обозначаются точками внутри прямоугольника. События могут быть представлены овалами, где точки, заключенные внутри овала, составляют событие.
In probability theory, the sample space (also called sample description space, possibility space, or outcome space) of an experiment or random trial is the set of all possible outcomes or results of that experiment. A sample space is usually denoted using set notation, and the possible ordered outcomes, or sample points, are listed as elements in the set. It is common to refer to a sample space by the labels S, Ω, or U (for "universal set"). The elements of a sample space may be numbers, words, letters, or symbols. They can also be finite, countably infinite, or uncountably infinite. A subset of the sample space is an event, denoted by If the outcome of an experiment is included in , then event has occurred. For example, if the experiment is tossing a single coin, the sample space is the set , where the outcome means that the coin is heads and the outcome means that the coin is tails. The possible events are , , , and For tossing two coins, the sample space is , where the outcome is if both coins are heads, if the first coin is heads and the second is tails, if the first coin is tails and the second is heads, and if both coins are tails. The event that at least one of the coins is heads is given by
For tossing a single six sided die one time, where the result of interest is the number of pips facing up, the sample space is
A well defined, non empty sample space is one of three components in a probabilistic model (a probability space). The other two basic elements are a well defined set of possible events (an event space), which is typically the power set of if is discrete or a σ algebra on if it is continuous, and a probability assigned to each event (a probability measure function). A sample space can be represented visually by a rectangle, with the outcomes of the sample space denoted by points within the rectangle. The events may be represented by ovals, where the points enclosed within the oval make up the event.
Условия выборки
Набор с исходами (т.е. ) должен удовлетворять определенным условиям, чтобы являться пространством элементарных событий: исходы должны быть взаимоисключающими, то есть, если происходит исход , то ни один другой исход не может произойти. Однако более полное описание исходов может включать как номинал, так и масть, и пространство элементарных событий, описывающее каждую отдельную карту, может быть построено как декартово произведение двух пространств элементарных событий, упомянутых выше (это пространство будет содержать пятьдесят два равновероятных исхода). Возможны и другие пространства элементарных событий, например, лицевой стороной вверх или вниз, если некоторые карты были перевернуты во время тасования.
The outcomes must be mutually exclusive, i. e. if occurs, then no other will take place, A more complete description of outcomes, however, could specify both the denomination and the suit, and a sample space describing each individual card can be constructed as the Cartesian product of the two sample spaces noted above (this space would contain fifty two equally likely outcomes). Still other sample spaces are possible, such as right side up or upside down, if some cards have been flipped when shuffling.
Одинаково вероятные исходы
Некоторые подходы к теории вероятностей исходят из предположения, что все возможные исходы эксперимента определены таким образом, чтобы быть равновероятными. Для любого пространства элементарных событий с равновероятными исходами каждому исходу присваивается вероятность. Однако существуют эксперименты, которые сложно описать пространством элементарных событий с равновероятными исходами – например, если многократно подбрасывать канцелярскую кнопку и наблюдать, падает ли она остриём вверх или вниз, то никакой физической симметрии нет, чтобы предположить, что оба исхода должны быть равновероятными. Хотя большинство случайных явлений не имеют равновероятных исходов, бывает полезно определить пространство элементарных событий так, чтобы исходы были хотя бы приблизительно равновероятными, поскольку это условие значительно упрощает вычисление вероятностей событий в этом пространстве. Если каждый отдельный исход имеет одинаковую вероятность, то вероятность любого события вычисляется просто как:
Например, если два честных шестигранных кубика бросаются для получения двух равномерно распределённых целых чисел, и , каждое в диапазоне от 1 до 6 включительно, то 36 возможных упорядоченных пар исходов составляют пространство элементарных событий с равновероятными исходами. В этом случае применима вышеуказанная формула, например, для вычисления вероятности определённой суммы двух выпавших чисел. Вероятность события, при котором сумма равна пяти, равна , поскольку четыре из тридцати шести равновероятных пар исходов дают в сумме пять. Если бы пространство элементарных событий состояло из всех возможных сумм, полученных при бросании двух шестигранных кубиков, то вышеуказанная формула всё равно можно было бы применить, поскольку броски кубиков честные, но количество исходов в данном событии будет варьироваться. Сумма двух может выпасть только одним способом – , поэтому вероятность равна . Для суммы семи возможны исходы , поэтому вероятность равна .
Простая случайная выборка
В статистике выводы о характеристиках генеральной совокупности делаются на основе изучения выборки из этой совокупности. Чтобы получить выборку, дающую непредвзятую оценку истинных характеристик генеральной совокупности, статистики часто стремятся исследовать простую случайную выборку – то есть выборку, в которой каждый член генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность быть включенным.
Бесконечно большие пространства выборки
В элементарном подходе к теории вероятностей любое подмножество пространства элементарных событий обычно называют событием. Однако это приводит к проблемам, когда пространство элементарных событий непрерывно, поэтому требуется более точное определение события. Согласно этому определению, событиями считаются лишь измеримые подмножества пространства элементарных событий, образующие σ-алгебру над самим пространством элементарных событий. Примером бесконечного пространства элементарных событий является измерение времени жизни лампочки накаливания. Соответствующее пространство элементарных событий будет .