Введение
Касательные пространства многообразия
[[Image:Tangent bundle. svg|right|thumb|Informally, the tangent bundle of a manifold (which in this case is a circle) is obtained by considering all the tangent spaces (top), and joining them together in a smooth and non overlapping manner (bottom). of the tangent spaces of That is,
where denotes the tangent space to at the point So, an element of can be thought of as a pair , where is a point in and is a tangent vector to at
There is a natural projection
defined by This projection maps each element of the tangent space to the single point
The tangent bundle comes equipped with a natural topology (described in a section below). With this topology, the tangent bundle to a manifold is the prototypical example of a vector bundle (which is a fiber bundle whose fibers are vector spaces). A section of is a vector field on , and the dual bundle to is the cotangent bundle, which is the disjoint union of the cotangent spaces of By definition, a manifold is parallelizable if and only if the tangent bundle is trivial. By definition, a manifold is framed if and only if the tangent bundle is stably trivial, meaning that for some trivial bundle the Whitney sum is trivial. For example, the n dimensional sphere Sn is framed for all n, but parallelizable only for 1=n = 1, 3, 7 (by results of Bott Milnor and Kervaire).
[[Изображение:Tangent bundle. svg|right|thumb|Неформально, касательный расслоение многообразия (в данном случае – окружности) получается путем рассмотрения всех касательных пространств (сверху) и объединения их вместе гладким и непересекающимся образом (снизу). Таким образом,
[[Image:Tangent bundle. svg|right|thumb|Informally, the tangent bundle of a manifold (which in this case is a circle) is obtained by considering all the tangent spaces (top), and joining them together in a smooth and non overlapping manner (bottom). of the tangent spaces of That is,
where denotes the tangent space to at the point So, an element of can be thought of as a pair , where is a point in and is a tangent vector to at
There is a natural projection
defined by This projection maps each element of the tangent space to the single point
The tangent bundle comes equipped with a natural topology (described in a section below). With this topology, the tangent bundle to a manifold is the prototypical example of a vector bundle (which is a fiber bundle whose fibers are vector spaces). A section of is a vector field on , and the dual bundle to is the cotangent bundle, which is the disjoint union of the cotangent spaces of By definition, a manifold is parallelizable if and only if the tangent bundle is trivial. By definition, a manifold is framed if and only if the tangent bundle is stably trivial, meaning that for some trivial bundle the Whitney sum is trivial. For example, the n dimensional sphere Sn is framed for all n, but parallelizable only for 1=n = 1, 3, 7 (by results of Bott Milnor and Kervaire).
где обозначает касательное пространство к в точке . Следовательно, элемент можно рассматривать как пару , где – точка в , а – касательный вектор к в .
Существует естественная проекция, определяемая как . Эта проекция отображает каждый элемент касательного пространства в единственную точку .
Касательное расслоение снабжено естественной топологией (описанной в разделе ниже). При этой топологии касательное расслоение к многообразию является прототипическим примером векторного расслоения (являющегося волокнистым расслоением, волокна которого являются векторными пространствами). Сечение – это векторное поле на , а двойственное расслоение к – это кокасательное расслоение, являющееся дизъюнктным объединением кокасательных пространств . По определению, многообразие называется параллелизуемым тогда и только тогда, когда касательное расслоение тривиально. По определению, многообразие называется обрамлённым тогда и только тогда, когда касательное расслоение стабильно тривиально, то есть существует некоторое тривиальное расслоение , для которого сумма Уитни тривиальна. Например, n-мерная сфера Sn обрамлена для всех n, но параллелизуема только при n = 1, 3, 7 (по результатам Ботта, Милнора и Керваера).
[[Image:Tangent bundle. svg|right|thumb|Informally, the tangent bundle of a manifold (which in this case is a circle) is obtained by considering all the tangent spaces (top), and joining them together in a smooth and non overlapping manner (bottom). of the tangent spaces of That is,
where denotes the tangent space to at the point So, an element of can be thought of as a pair , where is a point in and is a tangent vector to at
There is a natural projection
defined by This projection maps each element of the tangent space to the single point
The tangent bundle comes equipped with a natural topology (described in a section below). With this topology, the tangent bundle to a manifold is the prototypical example of a vector bundle (which is a fiber bundle whose fibers are vector spaces). A section of is a vector field on , and the dual bundle to is the cotangent bundle, which is the disjoint union of the cotangent spaces of By definition, a manifold is parallelizable if and only if the tangent bundle is trivial. By definition, a manifold is framed if and only if the tangent bundle is stably trivial, meaning that for some trivial bundle the Whitney sum is trivial. For example, the n dimensional sphere Sn is framed for all n, but parallelizable only for 1=n = 1, 3, 7 (by results of Bott Milnor and Kervaire).
Роль
Одна из основных ролей тангенциального расслоения — предоставить область определения и область значений для производной гладкой функции. А именно, если f — гладкая функция, с M и N гладкими многообразиями, её производная является гладкой функцией f*: TM → TN.
Примеры
Самый простой пример – это то, что в этом случае касательный расслоение тривиально: каждый слой канонически изоморфен ℝⁿ через отображение, которое вычитает точку, давая диффеоморфизм. Другой простой пример – единичная окружность (см. рисунок выше). Касательное расслоение окружности также тривиально и изоморфно ℝ². Геометрически это цилиндр бесконечной высоты. Единственные касательные расслоения, которые можно легко представить, – это касательные расслоения вещественной прямой ℝ и единичной окружности, оба из которых тривиальны. Для двумерных многообразий касательное расслоение четырехмерно и, следовательно, его трудно представить. Простой пример нетривиального касательного расслоения – это единичная сфера: её касательное расслоение нетривиально как следствие теоремы о волосатом шаре. Следовательно, сфера не параллелизуема.
Another simple example is the unit circle, (see picture above). The tangent bundle of the circle is also trivial and isomorphic to Geometrically, this is a cylinder of infinite height. The only tangent bundles that can be readily visualized are those of the real line and the unit circle , both of which are trivial. For 2 dimensional manifolds the tangent bundle is 4 dimensional and hence difficult to visualize. A simple example of a nontrivial tangent bundle is that of the unit sphere : this tangent bundle is nontrivial as a consequence of the hairy ball theorem. Therefore, the sphere is not parallelizable.
Лифты
Существуют различные способы поднятия объектов на объекты на. Например, если f — кривая в ℝⁿ, то df (тангенциальное отображение f) является кривой в T*ℝⁿ. Напротив, без дополнительных предположений о M (например, Римановой метрики), нет аналогичного поднятия в котангентный расслоение. Вертикальный подъем функции f — это функция fᶿ, определяемая как fᶿ(x, p) = f(x), где π — каноническая проекция.