Четырехугольник, вписанный в окружность

Введение

Четырехугольник, вершины которого лежат на одной окружности.

В евклидовой геометрии, циклический четырехугольник или вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной окружностью, а вершины называются конциклическими. Центр окружности и её радиус называются соответственно центром описанной окружности и радиусом описанной окружности. Другими названиями для этих четырехугольников являются конциклический четырехугольник и хордальный четырехугольник, последний термин происходит от того, что стороны четырехугольника являются хордами описанной окружности. Обычно предполагается, что четырехугольник выпуклый, но существуют также перекрестные циклические четырехугольники. Приведенные ниже формулы и свойства справедливы для выпуклого случая. Слово «циклический» происходит от древнегреческого κύκλος (kúklos), что означает «круг» или «колесо». Все треугольники имеют описанную окружность, но не все четырехугольники. Примером четырехугольника, который не может быть циклическим, является ромб, не являющийся квадратом. В разделе «Характеристики» ниже указаны необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять четырехугольник, чтобы иметь описанную окружность.

Особые случаи

Любой квадрат, прямоугольник, равнобедренная трапеция или антипараллелограмм являются циклическими. Змей (или дельтоид) цикличен тогда и только тогда, когда у него два прямых угла – прямоугольный змей. Бицентрический четырехугольник – это циклический четырехугольник, который также является касательным, а экс-бицентрический четырехугольник – это циклический четырехугольник, который также является внешнекасательным. Гармонический четырехугольник – это циклический четырехугольник, в котором произведение длин противоположных сторон равно.

Циркумцентр

Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра к его сторонам пересекаются в одной точке. Эта общая точка является центром описанной окружности.

Угол между сторонами и диагоналями

Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю. То есть, например,

Паскальские баллы

Другими необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы выпуклый четырехугольник ABCD был циклическим, являются: пусть E – точка пересечения диагоналей, пусть F – точка пересечения продолжений сторон AD и BC, пусть задана окружность, диаметром которой является отрезок EF, и пусть P и Q – точки Паскаля на сторонах AB и CD, образованные этой окружностью. (1) Четырехугольник ABCD является циклическим тогда и только тогда, когда точки P и Q лежат на одной прямой с центром O окружности. (2) Четырехугольник ABCD является циклическим тогда и только тогда, когда точки P и Q являются серединами сторон AB и CD. Точка пересечения E может находиться внутри или вне окружности. В первом случае циклическим четырехугольником является ABCD, а во втором – ABDC. При внутреннем пересечении выполняется равенство: произведение длин отрезков, на которые точка E делит одну диагональ, равно произведению длин отрезков, на которые точка E делит другую диагональ. Это известно как теорема о пересекающихся хордах, поскольку диагонали циклического четырехугольника являются хордами описанной окружности.

Антицентр и коллинеария

Четыре отрезка, каждый из которых перпендикулярен одной стороне циклического четырехугольника и проходит через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точке. Это сокращение для средней линии, проведенной к середине стороны. Их общая точка называется антицентром. Он обладает свойством быть симметричным относительно центра описанной окружности точке, называемой "центроидом вершин". Таким образом, в циклическом четырехугольнике центр описанной окружности, "центроид вершин" и антицентр лежат на одной прямой. Если диагонали циклического четырехугольника пересекаются в точке P, а середины диагоналей обозначены как M и N, то антицентр четырехугольника является ортоцентром треугольника MNP. Антицентр циклического четырехугольника является точкой Понселе для его вершин.

Другие свойства

В циклическом четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей M1, M2, M3, M4 (см. рисунок справа) в треугольниках DAB, ABC, BCD и CDA являются вершинами прямоугольника. Это одна из теорем, известных как японская теорема. Ортоцентры тех же четырех треугольников являются вершинами четырёхугольника, конгруэнтного ABCD, а центры тяжести в этих четырех треугольниках являются вершинами другого циклического четырёхугольника. Если стороны циклического четырёхугольника образуют арифметическую прогрессию, то этот четырёхугольник также является эксбицентрическим. Если противоположные стороны циклического четырёхугольника продолжены до пересечения в точках E и F, то внутренние биссектрисы углов в точках E и F перпендикулярны.

Четырехугольники Брахмагупты

Четырехугольник Брахмагупты — это циклический четырехугольник с целочисленными сторонами, целочисленными диагоналями и целочисленной площадью. Все четырехугольники Брахмагупты со сторонами a, b, c, d, диагоналями e, f, площадью K и радиусом описанной окружности R могут быть получены путем устранения знаменателей из следующих выражений, содержащих рациональные параметры t, u и v.

Другие свойства

В циклическом ортодиагональном четырехугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей. Одно из направлений этой теоремы было доказано Андерсом Йоханом Лекселлом в 1782 году. Лекселл показал, что в сферическом четырехугольнике, вписанном в малый круг сферы, суммы противоположных углов равны, и что в описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Первая из этих теорем является сферическим аналогом планиметрической теоремы, а вторая теорема является ее двойственной, то есть результатом замены больших кругов и их полюсов. Кипер и др. доказали теорему, обратную к исходной: если суммы противоположных сторон равны в сферическом четырехугольнике, то для этого четырехугольника существует вписанный круг.