Введение
Математическое множество, рассматриваемое как несущественное.
В математике несущественное множество — это множество, достаточно малое, чтобы его можно было игнорировать для определенных целей. В качестве типичных примеров, конечные множества можно игнорировать при изучении предела последовательности, а множества меры нуль можно игнорировать при изучении интеграла измеримой функции. Несущественные множества определяют несколько полезных понятий, которые могут быть применены в различных ситуациях, таких как «истина почти всюду». Для корректной работы этих понятий обычно достаточно, чтобы несущественные множества образовывали идеал, то есть чтобы пустое множество было несущественным, объединение двух несущественных множеств было несущественным, и любое подмножество несущественного множества также было несущественным. Для некоторых целей также необходимо, чтобы этот идеал был сигма-идеалом, то есть чтобы счетные объединения несущественных множеств также были несущественными. Если I и J — оба идеалы подмножеств одного и того же множества X, то можно говорить о подмножествах, несущественных относительно I и J. Противоположностью несущественного множества является общее (или типичное) свойство, которое может принимать различные формы.
Производные понятия
Пусть X – множество, и пусть I – идеал пренебрежимо малых подмножеств X. Если p – утверждение об элементах X, то p истинно почти везде, если множество точек, где p истинно, является дополнением пренебрежимого множества. То есть, p может быть не всегда истинным, но оно ложно настолько редко, что этим можно пренебречь для рассматриваемых целей. Если f и g – функции из X в одно и то же пространство Y, то f и g эквивалентны, если они равны почти везде. Чтобы сделать вводный абзац более точным, пусть X будет N, а пренебрежимыми множествами – конечные множества. Тогда f и g – последовательности. Если Y – топологическое пространство, то f и g имеют один и тот же предел, или ни у одного из них нет предела. (При обобщении этого на направленные множества получается тот же результат, но для сетей.) Или, пусть X – измеримое пространство, и пренебрежимыми множествами будут множества меры нуль. Если Y – вещественная прямая R, то либо f и g имеют один и тот же интеграл, либо ни один из интегралов не определен.