Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Формулировка классической механики с использованием импульсов
Formulation of classical mechanics using momenta
В физике гамильтонова механика представляет собой переформулировку лагранжевой механики, возникшую в 1833 году. Введенная сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном, гамильтонова механика заменяет (обобщенные) скорости, используемые в лагранжевой механике, (обобщенными) импульсами. Обе теории дают интерпретации классической механики и описывают одни и те же физические явления. Гамильтонова механика тесно связана с геометрией (в частности, с симплектической геометрией и структурами Пуассона) и служит связующим звеном между классической и квантовой механикой.
In physics, Hamiltonian mechanics is a reformulation of Lagrangian mechanics that emerged in 1833. Introduced by Sir William Rowan Hamilton, Hamiltonian mechanics replaces (generalized) velocities used in Lagrangian mechanics with (generalized) momenta. Both theories provide interpretations of classical mechanics and describe the same physical phenomena. Hamiltonian mechanics has a close relationship with geometry (notably, symplectic geometry and Poisson structures) and serves as a link between classical and quantum mechanics.
Основные физические интерпретации
Простая интерпретация гамильтоновой механики исходит из её применения к одномерной системе, состоящей из одной нерелятивистской частицы массы m. Значение гамильтониана представляет собой полную энергию системы, в данном случае сумму кинетической и потенциальной энергии, традиционно обозначаемых T и V соответственно. Здесь p – импульс, равный mv, а q – пространственная координата. Тогда
A simple interpretation of Hamiltonian mechanics comes from its application on a one dimensional system consisting of one nonrelativistic particle of mass m. The value of the Hamiltonian is the total energy of the system, in this case the sum of kinetic and potential energy, traditionally denoted T and V, respectively. Here p is the momentum mv and q is the space coordinate. Then
T является функцией только p, а V – функцией только q (то есть T и V являются склерономическими). В этом примере производная q по времени – это скорость, и поэтому первое уравнение Гамильтона означает, что скорость частицы равна производной её кинетической энергии по импульсу. Производная импульса p по времени равна ньютоновской силе, и поэтому второе уравнение Гамильтона означает, что сила равна отрицательному градиенту потенциальной энергии.
T is a function of p alone, while V is a function of q alone (i. e., T and V are scleronomic). In this example, the time derivative of q is the velocity, and so the first Hamilton equation means that the particle's velocity equals the derivative of its kinetic energy with respect to its momentum. The time derivative of the momentum p equals the Newtonian force, and so the second Hamilton equation means that the force equals the negative gradient of potential energy.
Свойства гамильтонова
Значение гамильтониана является полной энергией системы тогда и только тогда, когда функция энергии обладает тем же свойством. (См. определение 1= \mathcal H). Когда 1= \mathbf p(t), 1= \mathbf q(t) образуют решение уравнений Гамильтона. Действительно, и все члены, кроме последнего, сокращаются. Не изменяется при точечных преобразованиях, то есть при гладких изменениях пространственных координат. (Это следует из инвариантности функции энергии при точечных преобразованиях. Инвариантность можно установить непосредственно). (См. 1= \frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i} = \dot p_i = \frac{\partial \mathcal L}{\partial q^i} (Сравните уравнения Гамильтона и Эйлера-Лагранжа или см.). тогда и только тогда, когда 1= \frac{\partial \mathcal L}{\partial q^i}=0. Координата, для которой выполняется последнее уравнение, называется циклической (или игнорируемой). Каждая циклическая координата уменьшает число степеней свободы на 1=1, приводит к сохранению соответствующего импульса и упрощает решение уравнений Гамильтона.
The value of the Hamiltonian is the total energy of the system if and only if the energy function has the same property. (See definition of 1= \mathcal H ). when 1= \mathbf p(t) , 1= \mathbf q(t) form a solution of Hamilton's equations. Indeed, and everything but the final term cancels out. does not change under point transformations, i. e. smooth changes of space coordinates. (Follows from the invariance of the energy function under point transformations. The invariance of can be established directly). (See ). 1= \frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i} = \dot p i = \frac{\partial \mathcal L}{\partial q^i} (Compare Hamilton's and Euler Lagrange equations or see ). if and only if 1= \frac{\partial \mathcal L}{\partial q^i}=0 A coordinate for which the last equation holds is called cyclic (or ignorable). Every cyclic coordinate reduces the number of degrees of freedom by 1= 1 , causes the corresponding momentum to be conserved, and makes Hamilton's equations easier to solve.
Применение к системам точечных масс
Для системы точечных масс требование квадратичности по обобщенным скоростям всегда выполняется при , что и так является необходимым условием.
For a system of point masses, the requirement for to be quadratic in generalised velocity is always satisfied for the case where , which is a requirement for anyway.
Сохранение энергии
Если условия для выполняются, то сохранение гамильтониана влечет за собой сохранение энергии. Это требует дополнительного условия, что не содержит времени в качестве явной переменной. В рамках расширенной формулировки Эйлера-Лагранжа (см. ), функция диссипации Рэлея представляет собой диссипацию энергии по своей природе. Следовательно, энергия не сохраняется, когда. Это аналогично потенциалу, зависящему от скорости. В итоге, требования к для нерелятивистской системы заключаются в том, чтобы они выполнялись во время преобразования калибровки, что подразумевает инвариантность всех физических результатов относительно локальных U(1)-преобразований.
If the conditions for are satisfied, then conservation of the Hamiltonian implies conservation of energy. This requires the additional condition that does not contain time as an explicit variable. With respect to the extended Euler Lagrange formulation (See ), the Rayleigh dissipation function represents energy dissipation by nature. Therefore, energy is not conserved when This is similar to the velocity dependent potential. In summary, the requirements for to be satisfied for a nonrelativistic system are during the Gauge Transformation, which implies that all physical results must be invariant under local U(1) transformations.
Суб-Риманновские коллекторы
Когда кометрика вырождена, она необратима. В этом случае риманова многообразия не существует, поскольку отсутствует метрика. Однако гамильтониан по-прежнему существует. Если кометрика вырождена в каждой точке q конфигурационного многообразия Q, так что ранг кометрики меньше размерности многообразия Q, то мы имеем дело с субримановым многообразием. Гамильтониан в этом случае называется субримановым гамильтонианом. Каждый такой гамильтониан однозначно определяет кометрику, и наоборот. Это означает, что каждое субриманово многообразие однозначно определяется своим субримановым гамильтонианом, и наоборот: каждое субриманово многообразие имеет уникальный субриманов гамильтониан. Существование субримановых геодезических даётся теоремой Чоу — Рашевского. Непрерывная вещественнозначная группа Гейзенберга предоставляет простой пример субриманова многообразия. Для группы Гейзенберга гамильтониан задаётся следующим образом:
When the cometric is degenerate, then it is not invertible. In this case, one does not have a Riemannian manifold, as one does not have a metric. However, the Hamiltonian still exists. In the case where the cometric is degenerate at every point q of the configuration space manifold Q, so that the rank of the cometric is less than the dimension of the manifold Q, one has a sub Riemannian manifold. The Hamiltonian in this case is known as a sub Riemannian Hamiltonian. Every such Hamiltonian uniquely determines the cometric, and vice versa. This implies that every sub Riemannian manifold is uniquely determined by its sub Riemannian Hamiltonian, and that the converse is true: every sub Riemannian manifold has a unique sub Riemannian Hamiltonian. The existence of sub Riemannian geodesics is given by the Chow–Rashevskii theorem. The continuous, real valued Heisenberg group provides a simple example of a sub Riemannian manifold. For the Heisenberg group, the Hamiltonian is given by
pz не входит в гамильтониан.
pz is not involved in the Hamiltonian.
Алгебры Пуассона
Гамильтоновы системы могут быть обобщены различными способами. Вместо простого рассмотрения алгебры гладких функций над симплектическим многообразием, гамильтонова механика может быть сформулирована на общих коммутативных унитальных вещественных алгебрах Пуассона. Состояние — это непрерывный линейный функционал на алгебре Пуассона (оснащенной некоторой подходящей топологией), такой что для любого элемента A алгебры, A² отображается в неотрицательное вещественное число. Дальнейшее обобщение даёт динамика Намбу.
Hamiltonian systems can be generalized in various ways. Instead of simply looking at the algebra of smooth functions over a symplectic manifold, Hamiltonian mechanics can be formulated on general commutative unital real Poisson algebras. A state is a continuous linear functional on the Poisson algebra (equipped with some suitable topology) such that for any element A of the algebra, A^(2) maps to a nonnegative real number. A further generalization is given by Nambu dynamics.