Введение
Спираль, охватывающая равную площадь за каждый виток. Спираль Ферма, или параболическая спираль, — это плоская кривая, обладающая свойством, что площадь между любыми двумя последовательными полными оборотами вокруг спирали остаётся постоянной. В результате расстояние между витками увеличивается обратно пропорционально расстоянию от центра спирали, в отличие от спирали Архимеда (для которой это расстояние постоянно) и логарифмической спирали (для которой расстояние между витками пропорционально расстоянию от центра). Спираль Ферма названа в честь Пьера де Ферма. Области её применения включают создание кривых с непрерывной кривизной.
A Fermat's spiral or parabolic spiral is a plane curve with the property that the area between any two consecutive full turns around the spiral is invariant. As a result, the distance between turns grows in inverse proportion to their distance from the spiral center, contrasting with the Archimedean spiral (for which this distance is invariant) and the logarithmic spiral (for which the distance between turns is proportional to the distance from the center). Fermat spirals are named after Pierre de Fermat. Their applications include curvature continuous blending of curves,
Инверсия круга
Инверсия на единичной окружности в полярных координатах имеет простое описание. Образ спирали Ферма при инверсии на единичной окружности — это спираль Литуса с полярным уравнением . Когда , обе кривые пересекаются в фиксированной точке на единичной окружности. Касательная (ось x) в точке перегиба (начале координат) спирали Ферма отображается сама на себя и является асимптотической линией спирали Литуса.
The image of Fermat's spiral under the inversion at the unit circle is a lituus spiral with polar equation When , both curves intersect at a fixed point on the unit circle. The tangent (x axis) at the inflection point (origin) of Fermat's spiral is mapped onto itself and is the asymptotic line of the lituus spiral.
Золотое сечение и золотой угол
В дисковой филотаксисе, как у подсолнечника и маргаритки, сетка спиралей проявляется в числах Фибоначчи, поскольку угол расхождения (угол последовательности в спиральном расположении) стремится к золотому сечению. Форма спиралей зависит от роста элементов, образующихся последовательно. В зрелой дисковой филотаксисе, когда все элементы одинакового размера, форма спиралей в идеале соответствует спиралям Ферма. Это связано с тем, что спираль Ферма проходит через равновеликие кольца за равные обороты. Полная модель, предложенная Г. Фогелем в 1979 году, имеет вид:
где θ – угол, r – радиус или расстояние от центра, n – порядковый номер цветка, а c – постоянный масштабный коэффициент. Угол 137.508° – золотой угол, который аппроксимируется отношениями чисел Фибоначчи. Получающийся спиральный узор из единичных дисков следует отличать от спиралей Дойла – узоров, образованных касательными дисками геометрически возрастающих радиусов, расположенными на логарифмических спиралях.
Солнечные установки
Спираль Ферма также оказалась эффективной компоновкой для зеркал концентрирующих солнечных электростанций.