Введение
В исчислении теорема Ролля или лемма Ролля по существу утверждает, что любая вещественная дифференцируемая функция, принимающая равные значения в двух различных точках, должна иметь хотя бы одну стационарную точку между этими точками — то есть точку, в которой первая производная (наклон касательной к графику функции) равна нулю. Теорема названа в честь Мишеля Ролля.
In calculus, Rolle's theorem or Rolle's lemma essentially states that any real valued differentiable function that attains equal values at two distinct points must have at least one stationary point somewhere between them—that is, a point where the first derivative (the slope of the tangent line to the graph of the function) is zero. The theorem is named after Michel Rolle.
История
Хотя теорема названа в честь Мишеля Роля, доказательство, представленное Ролем в 1691 году, охватывало лишь случай полиномиальных функций. В своем доказательстве он не использовал методы дифференциального исчисления, которые в то время он считал несостоятельными. Теорема была впервые доказана Коши в 1823 году как следствие доказательства теоремы о среднем значении. Название "теорема Роля" впервые употребили Мориц Вильгельм Дробиш из Германии в 1834 году и Джусто Беллавитис из Италии в 1846 году.
Второй пример
Если дифференцируемость нарушается во внутренней точке интервала, заключение теоремы Ролля может не выполняться. Рассмотрим функцию абсолютной величины. Тогда f(-1) = f(1) = 1, но не существует c между -1 и 1, для которого f'(c) равен нулю. Это происходит потому, что функция, хотя и непрерывна, не дифференцируема в точке x = 0. Производная f меняет знак в точке x = 0, но не достигает значения 0. Теорему нельзя применить к этой функции, поскольку она не удовлетворяет условию дифференцируемости для всех x в открытом интервале. Однако, если требование дифференцируемости исключить из теоремы Ролля, функция f все равно будет иметь критическую точку в открытом интервале, но она не обязательно будет соответствовать горизонтальной касательной (как в случае функции абсолютной величины, представленной на графике).
Then 1=f (−1) = f (1), but there is no c between −1 and 1 for which the f ′(c) is zero. This is because that function, although continuous, is not differentiable at 1=x = 0. The derivative of f changes its sign at 1=x = 0, but without attaining the value 0. The theorem cannot be applied to this function because it does not satisfy the condition that the function must be differentiable for every x in the open interval. However, when the differentiability requirement is dropped from Rolle's theorem, f will still have a critical number in the open interval , but it may not yield a horizontal tangent (as in the case of the absolute value represented in the graph).
Доказательство
Доказательство использует математическую индукцию. Случай n = 1 – это просто стандартная версия теоремы Ролля. Для n > 1 примем в качестве гипотезы индукции, что обобщение верно для n − 1. Нам нужно доказать его для n. Предположим, что функция f удовлетворяет гипотезам теоремы. По стандартной версии теоремы Ролля, для каждого целого числа k от 1 до n существует точка ck в открытом интервале, такая что f′(ck) = 0. Следовательно, первая производная удовлетворяет условиям на n − 1 замкнутых интервалах [c1, c2], ..., [cn−1, cn]. По гипотезе индукции, существует точка c, в которой (n − 1)-я производная f′ равна нулю.
Обобщения в других областях
Теорема Ролля — это свойство дифференцируемых функций над действительными числами, которые являются упорядоченным полем. Следовательно, она не обобщается на другие поля, но следующее следствие применимо: если действительный многочлен раскладывается на множители (имеет все свои корни) над действительными числами, то его производная также раскладывается на множители над действительными числами. Это свойство поля можно назвать свойством Ролля. Более общие поля не всегда имеют дифференцируемые функции, но всегда имеют многочлены, которые можно символически дифференцировать. Аналогично, более общие поля могут не иметь порядка, но существует понятие корня многочлена, принадлежащего этому полю. Таким образом, теорема Ролля показывает, что действительные числа обладают свойством Ролля. Любое алгебраически замкнутое поле, такое как комплексные числа, обладает свойством Ролля. Однако рациональные числа не обладают этим свойством — например, x³ − x = x(x − 1)(x + 1) раскладывается на множители над рациональными числами, а его производная — нет. Вопрос о том, какие поля удовлетворяют свойству Ролля, был поставлен в работе, посвященной конечным полям. Для конечных полей ответ заключается в том, что свойством Ролля обладают только поля F² и F⁴. Более сложная версия рассматривается в индексе Вурхоева.
does not. The question of which fields satisfy Rolle's property was raised in For finite fields, the answer is that only 'F'^(2) and 'F'^(4) have Rolle's property. For a complex version, see Voorhoeve index.