Спектральная плотность сигнала и анализ временных рядов.

Введение

Относительная важность определенных частот в композитном сигнале: обработка сигналов и связь спектров с временными рядами.

В обработке сигналов спектр мощности непрерывного во времени сигнала описывает распределение мощности по частотным компонентам, составляющим этот сигнал. Согласно анализу Фурье, любой физический сигнал можно разложить на ряд дискретных частот или спектр частот в непрерывном диапазоне. Статистическое среднее значение любого типа сигнала (включая шум), анализируемое с точки зрения его частотного состава, называется его спектром. Когда энергия сигнала сосредоточена вокруг конечного интервала времени, особенно если его общая энергия конечна, можно вычислить спектральную плотность энергии. Чаще используется спектральная плотность мощности (или просто спектр мощности), которая применима к сигналам, существующим в течение всего времени, или в течение достаточно длительного периода времени (особенно по отношению к продолжительности измерения), что эквивалентно существованию в течение бесконечного интервала времени. Плотность спектра мощности (PSD) тогда относится к распределению спектральной энергии в единицу времени, поскольку общая энергия такого сигнала за все время, как правило, будет бесконечной. Суммирование или интегрирование спектральных компонентов дает общую мощность (для физического процесса) или дисперсию (в статистическом процессе), что идентично результату, полученному интегрированием по временной области, согласно теореме Парсеваля. Если сигнал задан только в терминах напряжения, например, то однозначная мощность, связанная с указанной амплитудой, отсутствует. В этом случае "мощность" просто определяется как квадрат сигнала, поскольку это всегда пропорционально фактической мощности, передаваемой этим сигналом в заданный импеданс. Таким образом, для PSD можно использовать единицы В² Гц⁻¹. Энергетическая спектральная плотность (ESD) будет иметь единицы В² с Гц⁻¹, поскольку энергия измеряется в единицах мощности, умноженных на время (например, ватт-час). В общем случае единицы PSD будут представлять собой отношение единиц дисперсии к единице частоты; например, для ряда значений смещения (в метрах) во времени (в секундах) PSD будет выражаться в метрах в квадрате на герц, м²/Гц. В анализе случайных вибраций для PSD ускорения часто используются единицы г² Гц⁻¹, где г обозначает ускорение свободного падения. Математически нет необходимости приписывать физические размерности сигналу или независимой переменной. В дальнейшем обсуждении значение x(t) останется неопределенным, но независимая переменная будет считаться временной.

In signal processing, the power spectrum of a continuous time signal describes the distribution of power into frequency components composing that signal. According to Fourier analysis, any physical signal can be decomposed into a number of discrete frequencies, or a spectrum of frequencies over a continuous range. The statistical average of any sort of signal (including noise) as analyzed in terms of its frequency content, is called its spectrum. When the energy of the signal is concentrated around a finite time interval, especially if its total energy is finite, one may compute the energy spectral density. More commonly used is the power spectral density (or simply power spectrum), which applies to signals existing over all time, or over a time period large enough (especially in relation to the duration of a measurement) that it could as well have been over an infinite time interval. The power spectral density (PSD) then refers to the spectral energy distribution that would be found per unit time, since the total energy of such a signal over all time would generally be infinite. Summation or integration of the spectral components yields the total power (for a physical process) or variance (in a statistical process), identical to what would be obtained by integrating over the time domain, as dictated by Parseval's theorem. When a signal is defined in terms only of a voltage, for instance, there is no unique power associated with the stated amplitude. In this case "power" is simply reckoned in terms of the square of the signal, as this would always be proportional to the actual power delivered by that signal into a given impedance. So one might use units of V2 Hz−1 for the PSD. Energy spectral density (ESD) would have units of V2 s Hz−1, since energy has units of power multiplied by time (e. g., watt hour). In the general case, the units of PSD will be the ratio of units of variance per unit of frequency; so, for example, a series of displacement values (in meters) over time (in seconds) will have PSD in units of meters squared per hertz, m2/Hz. In the analysis of random vibrations, units of g2 Hz−1 are frequently used for the PSD of acceleration, where g denotes the g force. Mathematically, it is not necessary to assign physical dimensions to the signal or to the independent variable. In the following discussion the meaning of x(t) will remain unspecified, but the independent variable will be assumed to be that of time.

Оценка

Целью оценки спектральной плотности является определение спектральной плотности случайного сигнала на основе последовательности временных отсчетов. В зависимости от информации, доступной о сигнале, для оценки могут использоваться параметрические или непараметрические методы, основанные на анализе во временной или частотной области. Например, распространенный параметрический метод заключается в подгонке наблюдений к авторегрессионной модели. Распространенным непараметрическим методом является периодограмма. Спектральная плотность обычно оценивается с помощью методов, основанных на преобразовании Фурье (например, метода Уэлча), но также могут применяться и другие методы, такие как метод максимальной энтропии.

Связанные понятия

Спектральный центроид сигнала — это середина его функции спектральной плотности, то есть частота, делящая распределение на две равные части. Частота спектрального края (SEF), обычно выражаемая как «SEF x», представляет собой частоту, ниже которой находится x процентов от общей мощности данного сигнала; как правило, x находится в диапазоне от 75 до 95. Это особенно популярная мера, используемая в мониторинге ЭЭГ, где SEF применялась для оценки глубины анестезии и стадий сна. Спектральная огибающая — это огибающая спектральной плотности. Она описывает один момент времени (точнее, одно окно). Например, при дистанционном зондировании со спектрометром спектральная огибающая объекта — это граница его спектральных свойств, определяемая диапазоном уровней яркости в каждой из интересующих спектральных полос. Спектральная плотность — это функция частоты, а не времени. Однако можно вычислить спектральную плотность небольшого окна более длинного сигнала и построить график ее зависимости от времени, соответствующего этому окну. Такой график называется спектрограммой. Это лежит в основе ряда методов спектрального анализа, таких как кратковременное преобразование Фурье и вейвлеты. Под «спектром» обычно подразумевается спектральная плотность мощности, как обсуждалось выше, которая показывает распределение содержания сигнала по частоте. Для передаточных функций (например, диаграммы Боде, чирпа) полный частотный отклик можно представить в виде двух графиков: мощности в зависимости от частоты и фазы в зависимости от частоты — фазовая спектральная плотность, фазовый спектр или спектральная фаза. Реже эти две части могут быть действительной и мнимой частями передаточной функции. Это не следует путать с частотной характеристикой передаточной функции, которая также включает фазу (или, эквивалентно, действительную и мнимую части) как функцию частоты. Импульсную характеристику во временной области обычно нельзя однозначно восстановить только по спектральной плотности мощности без учета фазы. Хотя это также пары преобразований Фурье, в отличие от автокорреляции, здесь нет симметрии, гарантирующей, что преобразование Фурье будет вещественным. См. Ультракороткий импульс#Спектральная фаза, фазовый шум, групповая задержка. Иногда встречается амплитудная спектральная плотность (АСП), которая является квадратным корнем из PSD; АСП сигнала напряжения имеет единицы измерения В·Гц−1/2. Это полезно, когда форма спектра относительно постоянна, поскольку изменения в АСП будут пропорциональны изменениям уровня напряжения сигнала. Однако математически предпочтительнее использовать PSD, поскольку только в этом случае площадь под кривой имеет смысл с точки зрения фактической мощности на всей частоте или в заданной полосе пропускания.

The spectral centroid of a signal is the midpoint of its spectral density function, i. e. the frequency that divides the distribution into two equal parts. The spectral edge frequency (SEF), usually expressed as "SEF x", represents the frequency below which x percent of the total power of a given signal are located; typically, x is in the range 75 to 95. It is more particularly a popular measure used in EEG monitoring, in which case SEF has variously been used to estimate the depth of anesthesia and stages of sleep. A spectral envelope is the envelope curve of the spectrum density. It describes one point in time (one window, to be precise). For example, in remote sensing using a spectrometer, the spectral envelope of a feature is the boundary of its spectral properties, as defined by the range of brightness levels in each of the spectral bands of interest. The spectral density is a function of frequency, not a function of time. However, the spectral density of a small window of a longer signal may be calculated, and plotted versus time associated with the window. Such a graph is called a spectrogram. This is the basis of a number of spectral analysis techniques such as the short time Fourier transform and wavelets. A "spectrum" generally means the power spectral density, as discussed above, which depicts the distribution of signal content over frequency. For transfer functions (e. g., Bode plot, chirp) the complete frequency response may be graphed in two parts: power versus frequency and phase versus frequency—the phase spectral density, phase spectrum, or spectral phase. Less commonly, the two parts may be the real and imaginary parts of the transfer function. This is not to be confused with the frequency response of a transfer function, which also includes a phase (or equivalently, a real and imaginary part) as a function of frequency. The time domain impulse response cannot generally be uniquely recovered from the power spectral density alone without the phase part. Although these are also Fourier transform pairs, there is no symmetry (as there is for the autocorrelation) forcing the Fourier transform to be real valued. See Ultrashort pulse#Spectral phase, phase noise, group delay. Sometimes one encounters an amplitude spectral density (ASD), which is the square root of the PSD; the ASD of a voltage signal has units of V Hz−1/2. This is useful when the shape of the spectrum is rather constant, since variations in the ASD will then be proportional to variations in the signal's voltage level itself. But it is mathematically preferred to use the PSD, since only in that case is the area under the curve meaningful in terms of actual power over all frequency or over a specified bandwidth.

Приложения

Любой сигнал, который можно представить в виде переменной, изменяющейся во времени, имеет соответствующий частотный спектр. Это относится к таким знакомым явлениям, как видимый свет (воспринимаемый как цвет), музыкальные ноты (воспринимаемые как высота тона), радио- и телесигналы (определяемые их частотой или иногда длиной волны) и даже регулярное вращение Земли. При анализе этих сигналов в виде частотного спектра раскрываются определенные характеристики принимаемых сигналов или лежащих в их основе процессов. В некоторых случаях частотный спектр может содержать отчетливый пик, соответствующий компоненте синусоидальной волны. Кроме того, могут присутствовать пики, соответствующие гармоникам основной частоты, что указывает на периодический сигнал, не являющийся просто синусоидальным. Или непрерывный спектр может демонстрировать узкие частотные интервалы с выраженным усилением, соответствующие резонансам, либо частотные интервалы, содержащие почти нулевую мощность, как если бы они были созданы фильтром с подавлением.

Электротехника

Концепция и использование спектра мощности сигнала является фундаментальной в электротехнике, особенно в системах электронной связи, включая радиосвязь, радиолокацию и связанные с ними системы, а также в технологиях пассивного дистанционного зондирования. Электронные приборы, называемые анализаторами спектра, используются для наблюдения и измерения спектров мощности сигналов. Анализатор спектра измеряет амплитуду кратковременного преобразования Фурье (STFT) входного сигнала. Если анализируемый сигнал можно рассматривать как стационарный процесс, то STFT представляет собой хорошее сглаженное приближение его спектральной плотности мощности.

Космология

Первичные флуктуации, вариации плотности в ранней Вселенной, количественно описываются спектром мощности, который показывает величину этих вариаций в зависимости от пространственного масштаба.

Наука о климате

Спектральный анализ мощности использовался для изучения пространственных структур в климатических исследованиях. Эти результаты позволяют предположить, что атмосферная турбулентность связывает изменение климата с большей локальной региональной волатильностью погодных условий.