Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Средства проецирования трехмерных объектов на две плоскости
Means of projecting three dimensional objects in two dimensions
Ортографическая проекция (также ортогональная проекция и аналемма) – это способ представления трехмерных объектов в двух измерениях. Ортографическая проекция является видом параллельной проекции, в которой все линии проекции ортогональны к плоскости проекции, в результате чего каждая плоскость сцены отображается на поверхности наблюдения в виде аффинного преобразования. Обратным вариантом ортографической проекции является косая проекция, которая также является параллельной проекцией, но в которой линии проекции не ортогональны к плоскости проекции. Термин "ортографический" иногда используется для обозначения метода многопроекционной проекции, при котором главные оси или плоскости объекта также параллельны плоскости проекции для создания основных видов. Куб перемещается так, чтобы его центр находился в начале координат, а затем масштабируется до единичного куба, определяемого минимальным углом в точке (−1, −1, −1) и максимальным углом в точке (1, 1, 1). Ортографическое преобразование можно представить следующей матрицей:
Orthographic projection (also orthogonal projection and analemma) is a means of representing three dimensional objects in two dimensions. Orthographic projection is a form of parallel projection in which all the projection lines are orthogonal to the projection plane, resulting in every plane of the scene appearing in affine transformation on the viewing surface. The obverse of an orthographic projection is an oblique projection, which is a parallel projection in which the projection lines are not orthogonal to the projection plane. The term orthographic sometimes means a technique in multiview projection in which principal axes or the planes of the subject are also parallel with the projection plane to create the primary views. The box is translated so that its center is at the origin, then it is scaled to the unit cube which is defined by having a minimum corner at (−1,−1,−1) and a maximum corner at (1,1,1). The orthographic transform can be given by the following matrix:
которую можно представить как масштабирование S, за которым следует сдвиг T вида:
which can be given as a scaling S followed by a translation T of the form
Обратная матрица проекции P⁻¹, которую можно использовать как матрицу обратной проекции, определяется следующим образом:
The inversion of the projection matrix P−1, which can be used as the unprojection matrix is defined:
Типы
Три подтипа орфографической проекции — изометрическая проекция, диметрическая проекция и триметрическая проекция, — зависят от точного угла, под которым вид отклоняется от ортогонального. Как правило, в аксонометрической проекции, как и в других типах пикториальных изображений, одна из осей пространства отображается как вертикальная. В изометрической проекции, наиболее распространенной форме аксонометрической проекции в инженерном черчении, направление обзора таково, что три оси пространства кажутся равнозначно укороченными, а угол между ними составляет 120°. Поскольку искажение, вызванное укорочением, равномерно, пропорциональность между длинами сохраняется, и оси используют общий масштаб, что облегчает снятие измерений непосредственно с чертежа. Дополнительным преимуществом является то, что углы в 120° легко построить, используя только циркуль и линейку. В диметрической проекции направление обзора таково, что две из трех осей пространства кажутся одинаково укороченными, при этом соответствующий масштаб и углы представления определяются в соответствии с углом обзора; масштаб третьего направления определяется отдельно. В триметрической проекции направление обзора таково, что все три оси пространства кажутся укороченными в разной степени. Масштаб вдоль каждой из трех осей и углы между ними определяются отдельно в зависимости от угла обзора. Триметрическая проекция редко используется в технических чертежах. Орфографическая проекция известна с древних времен, и ее картографическое применение хорошо задокументировано. Гиппарх использовал эту проекцию во II веке до нашей эры для определения точек восхода и захода звезд. Около 14 года до нашей эры римский инженер Марк Витрувий Поллион использовал проекцию для построения солнечных часов и вычисления положения Солнца. Витрувий, по-видимому, также предложил термин «орфографическая проекция» — от греческих слов orthos («прямой») и graphē («рисунок»). Однако название «аналемма», которое также означало солнечные часы, показывающие широту и долготу, было общепринятым до тех пор, пока Франсуа д’Агилон из Антверпена не продвинул современное название в 1613 году. Самые ранние сохранившиеся карты, выполненные в этой проекции, представляют собой деревянные гравюры земных глобусов 1509 года (анонимного автора), 1533 и 1551 годов (Иоганнес Шёнер) и 1524 и 1551 годов (Апиан).
Three sub types of orthographic projection are isometric projection, dimetric projection, and trimetric projection, depending on the exact angle at which the view deviates from the orthogonal. Typically in axonometric drawing, as in other types of pictorials, one axis of space is shown to be vertical. In isometric projection, the most commonly used form of axonometric projection in engineering drawing, the direction of viewing is such that the three axes of space appear equally foreshortened, and there is a common angle of 120° between them. As the distortion caused by foreshortening is uniform, the proportionality between lengths is preserved, and the axes share a common scale; this eases one's ability to take measurements directly from the drawing. Another advantage is that 120° angles are easily constructed using only a compass and straightedge. In dimetric projection, the direction of viewing is such that two of the three axes of space appear equally foreshortened, of which the attendant scale and angles of presentation are determined according to the angle of viewing; the scale of the third direction is determined separately. In trimetric projection, the direction of viewing is such that all of the three axes of space appear unequally foreshortened. The scale along each of the three axes and the angles among them are determined separately as dictated by the angle of viewing. Trimetric perspective is seldom used in technical drawings. The orthographic projection has been known since antiquity, with its cartographic uses being well documented. Hipparchus used the projection in the 2nd century BC to determine the places of star rise and star set. In about 14 BC, Roman engineer Marcus Vitruvius Pollio used the projection to construct sundials and to compute sun positions. Vitruvius also seems to have devised the term orthographic – from the Greek orthos ("straight") and graphē ("drawing") – for the projection. However, the name analemma, which also meant a sundial showing latitude and longitude, was the common name until François d'Aguilon of Antwerp promoted its present name in 1613. The earliest surviving maps on the projection appear as woodcut drawings of terrestrial globes of 1509 (anonymous), 1533 and 1551 (Johannes Schöner), and 1524 and 1551 (Apian).