Равносторонний многоугольник: определение, свойства и отличия. Узнайте, когда многоугольник с равными сторонами является правильным, а когда – нет. Геометрия.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Многоугольник, у которого все стороны равны по длине.
Polygon in which all sides have equal length
В геометрии, равносторонний многоугольник — это многоугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину. За исключением случая с треугольником, равносторонний многоугольник не обязательно должен быть равноугольным (иметь все углы равными), но если это так, то он является правильным многоугольником. Если число сторон не меньше пяти, равносторонний многоугольник не обязательно должен быть выпуклым: он может быть вогнутым или даже самопересекающимся.
In geometry, an equilateral polygon is a polygon which has all sides of the same length. Except in the triangle case, an equilateral polygon does not need to also be equiangular (have all angles equal), but if it does then it is a regular polygon. If the number of sides is at least five, an equilateral polygon does not need to be a convex polygon: it could be concave or even self intersecting.
Примеры
Все правильные многоугольники и краепереходные многоугольники равносторонние. Если равносторонний многоугольник не самопересекающийся и циклический (его вершины лежат на окружности), то он должен быть правильным. Равносторонний четырехугольник должен быть выпуклым; этот многоугольник является ромбом (возможно, квадратом). Выпуклый равносторонний пятиугольник можно описать двумя последовательными углами, которые вместе определяют остальные углы. Однако равносторонние пятиугольники и равносторонние многоугольники с более чем пятью сторонами могут быть и вогнутыми, и если допускаются вогнутые пятиугольники, то двух углов уже недостаточно для определения формы пятиугольника. Касательный многоугольник (имеющий вписанную окружность, касающуюся всех его сторон) является равносторонним тогда и только тогда, когда чередующиеся углы равны (то есть, углы 1, 3, 5 равны, а углы 2, 4 равны). Следовательно, если число сторон n нечетное, касательный многоугольник равносторонний тогда и только тогда, когда он правильный.
All regular polygons and edge transitive polygons are equilateral. When an equilateral polygon is non crossing and cyclic (its vertices are on a circle) it must be regular. An equilateral quadrilateral must be convex; this polygon is a rhombus (possibly a square). A convex equilateral pentagon can be described by two consecutive angles, which together determine the other angles. However, equilateral pentagons, and equilateral polygons with more than five sides, can also be concave, and if concave pentagons are allowed then two angles are no longer sufficient to determine the shape of the pentagon. A tangential polygon (one that has an incircle tangent to all its sides) is equilateral if and only if the alternate angles are equal (that is, angles 1, 3, 5, are equal and angles 2, 4, are equal). Thus if the number of sides n is odd, a tangential polygon is equilateral if and only if it is regular.
Оптимальность
Когда равносторонний многоугольник вписан в многоугольник Рео, он образует многоугольник Райнхарда. Среди всех выпуклых многоугольников с одинаковым числом сторон, эти многоугольники обладают наибольшим возможным периметром при заданном диаметре, наибольшей возможной шириной при заданном диаметре и наибольшей возможной шириной при заданном периметре.
When an equilateral polygon is inscribed in a Reuleaux polygon, it forms a Reinhardt polygon. Among all convex polygons with the same number of sides, these polygons have the largest possible perimeter for their diameter, the largest possible width for their diameter, and the largest possible width for their perimeter.