Противоположное число (или аддитивный инверс)

Введение

Число, которое при добавлении к исходному числу дает ноль.

В математике аддитивная обратная величина числа *a* (иногда называемая противоположным числом для *a*) – это число, которое при добавлении к *a* дает ноль. Операция, приводящая число к его аддитивной обратной величине, известна как смена знака или взятие отрицательного значения. Для действительного числа она меняет его знак: аддитивная обратная величина (противоположное число) положительного числа отрицательна, а аддитивная обратная величина отрицательного числа положительна. Нуль является аддитивной обратной величиной самого себя. Аддитивная обратная величина *a* обозначается унарным минусом: −*a* (см. также ниже). Например, аддитивная обратная величина 7 равна −7, поскольку 7 + (−7) = 0, а аддитивная обратная величина −0,3 равна 0,3, поскольку −0,3 + 0,3 = 0. Аналогично, аддитивная обратная величина *a* − *b* равна −(*a* − *b*), что можно упростить до *b* − *a*. Аддитивная обратная величина 2*x* − 3 равна 3 − 2*x*, поскольку 2*x* − 3 + 3 − 2*x* = 0. Аддитивная обратная величина определяется как ее обратный элемент относительно бинарной операции сложения (см. также ниже), что позволяет обобщить это понятие на математические объекты, отличные от чисел. Как и в случае любой обратной операции, двойное взятие аддитивной обратной величины не оказывает никакого эффекта: −(−*x*) = *x*.

Распространенные примеры

Для числа (и в более общем случае, в любом кольце) аддитивную обратную можно вычислить, умножив на −1; то есть, −n = −1 × n. Примерами колец чисел являются целые, рациональные, действительные и комплексные числа.

Формальное определение

Обозначение + обычно зарезервировано для коммутативных бинарных операций (операций, где для всех x, y). Если такая операция допускает нейтральный элемент o (такой, что для всех x), то этот элемент единственен. Для заданного x, если существует элемент , такой что , то этот элемент называется аддитивным обратным к x. Если + ассоциативно, то есть (x + y) + z = x + (y + z) для всех x, y, z, то аддитивный обратный является единственным. Чтобы это увидеть, пусть и будут аддитивными обратными к x; тогда

Например, поскольку сложение вещественных чисел является ассоциативным, каждое вещественное число имеет единственный аддитивный обратный.

Непримеры

Натуральные числа, кардинальные числа и порядковые числа не имеют обратных по сложению в своих соответствующих множествах. Таким образом, можно сказать, например, что для натуральных чисел существуют обратные по сложению, но поскольку эти обратные по сложению не являются самими натуральными числами, множество натуральных чисел не является замкнутым относительно операции взятия обратного по сложению.