Введение

Ограничивающий случай, отличный от остальных представителей класса – дегенерация в математике.

В математике дегенеративный случай – это ограничивающий случай класса объектов, который качественно отличается от (и обычно проще, чем) остальных представителей этого класса; "дегенерация" – это состояние, характеризующее дегенеративный случай. Определения многих классов составных или структурированных объектов часто неявно включают неравенства. Например, углы и длины сторон треугольника предполагаются положительными. Ограничивающие случаи, когда одно или несколько из этих неравенств превращаются в равенства, являются дегенерациями. В случае треугольников, дегенеративным является треугольник, у которого хотя бы одна сторона или один угол равен нулю. Эквивалентно, он превращается в "отрезок прямой". Часто дегенеративные случаи представляют собой исключительные случаи, когда происходят изменения в обычной размерности или кардинальности объекта (или его части). Например, треугольник – это объект размерности два, а дегенеративный треугольник лежит на прямой.

Коническая сечение

Вырожденная коника — это коническое сечение (плоская кривая второго порядка, определяемая полиномиальным уравнением второй степени), которое не является неприводимой кривой. Точка является вырожденным кругом, то есть кругом с радиусом 0. Прямая является вырожденным случаем параболы, если парабола лежит на касательной плоскости. В инверсивной геометрии прямая является вырожденным случаем окружности с бесконечным радиусом. Две параллельные прямые также образуют вырожденную параболу. Отрезок прямой можно рассматривать как вырожденный случай эллипса, в котором малая полуось стремится к нулю, фокусы стремятся к концам отрезка, а эксцентриситет стремится к единице. Окружность можно рассматривать как вырожденный эллипс, когда эксцентриситет приближается к нулю и фокусы совпадают. Эллипс также может выродиться в одну точку. Гипербола может вырождаться в две пересекающиеся прямые, через семейство гипербол, имеющих эти прямые в качестве общих асимптот.

Треугольник

Вырожденный треугольник – это "плоский" треугольник в том смысле, что он лежит на одной прямой. Следовательно, его вершины коллинеарны, а площадь равна нулю. Если три вершины различны, он имеет два угла 0° и один угол 180°. Если две вершины совпадают, он имеет один угол 0° и два неопределенных угла. Если все три вершины совпадают, все три угла неопределены.

Прямоугольник

Отрезок прямой является вырожденным случаем прямоугольника, у которого одна из сторон имеет длину 0. Для любого непустого подмножества S существует ограниченный, выровненный по осям вырожденный прямоугольник R, где ai, bi, ci – константы (при этом ai ≤ bi для всех i). Количество вырожденных сторон R равно количеству элементов в подмножестве S. Таким образом, может быть всего одна вырожденная "сторона" или столько, сколько n (в этом случае R сводится к единственной точке).

Выпуклый многоугольник

Выпуклый многоугольник считается вырожденным, если хотя бы две последовательные стороны совпадают хотя бы частично, или хотя бы одна сторона имеет нулевую длину, или хотя бы один угол равен 180°. Таким образом, вырожденный выпуклый многоугольник с n сторонами выглядит как многоугольник с меньшим числом сторон. Для треугольников это определение совпадает с определением, данным выше.

Выпуклый полиэдр

Выпуклый многогранник является вырожденным, если либо две смежные грани лежат в одной плоскости, либо две ребра коллинеарны. В случае тетраэдра это эквивалентно тому, что все его вершины лежат в одной плоскости, в результате чего его объем равен нулю.

Стандартный тор

В контексте, где допускается самопересечение, двойная покрытая сфера представляет собой вырожденный стандартный тор, у которого ось вращения проходит через центр образующей окружности, а не вне её. Тор вырождается в окружность, когда его малый радиус стремится к нулю.

Сфера

Когда радиус сферы стремится к нулю, результирующая вырожденная сфера нулевого объема превращается в точку.

Другое

См. общую позицию для других примеров.

В других местах

Множество, содержащее одну точку, является вырожденным континуумом. Объекты, такие как дигон и моногон, можно рассматривать как вырожденные случаи многоугольников: они допустимы в общем абстрактном математическом смысле, но не входят в первоначальное евклидово представление о многоугольниках. Случайная величина, которая может принимать только одно значение, имеет вырожденное распределение; если это значение равно действительному числу 0, то её плотность вероятности описывается дельта-функцией Дирака. Корень многочлена иногда называют вырожденным, если это кратный корень, поскольку, как правило, n корней многочлена n-й степени различны. Это понятие переносится и на собственные значения: вырожденное собственное значение является кратным корнем характеристического многочлена. В квантовой механике любая такая кратность собственных значений гамильтониана приводит к вырождению энергетических уровней. Обычно любая такая дегенерация указывает на некоторую скрытую симметрию в системе.