Введение
Подмножество, которое одновременно открыто и замкнуто.
В топологии, clopen-множество (образовано от сочетания слов "closed open set" – замкнутое открытое множество) в топологическом пространстве – это множество, которое одновременно открыто и замкнуто. Сам факт возможности такого может показаться неинтуитивным, поскольку в обыденном понимании "открытый" и "замкнутый" – антонимы, но их математические определения не являются взаимоисключающими. Множество считается замкнутым, если его дополнение открыто, что допускает существование открытого множества, дополнение которого также открыто, делая оба множества одновременно открытыми и замкнутыми, и, следовательно, clopen-множествами. Как отмечает тополог Джеймс Мункрес, в отличие от двери, "множество может быть открытым, замкнутым, или и тем, и другим, или ни тем, ни другим!", подчеркивая, что значение слов "открытый"/"замкнутый" применительно к дверям не связано с их значением применительно к множествам (и поэтому дихотомия "открытая/замкнутая" дверь не переносится на открытые/замкнутые множества). Этот контраст с дверями дал название классу топологических пространств, известному как "пространства дверей".
Примеры
В любом топологическом пространстве пустое множество и всё пространство являются одновременно открытыми и замкнутыми (clopen). Теперь рассмотрим пространство, состоящее из объединения двух открытых интервалов и на . Топология на наследуется как подпространство топологии от обычной топологии на вещественной прямой . В множество является clopen, как и множество . Это довольно типичный пример: всякий раз, когда пространство состоит из конечного числа непересекающихся связных компонент, эти компоненты будут clopen. Теперь пусть – бесконечное множество с дискретной метрикой, то есть расстояние между двумя точками равно 1, если они различны, и 0 в противном случае. В полученном метрическом пространстве любое одноэлементное множество открыто; следовательно, любое множество, являющееся объединением одноэлементных множеств, открыто. Поскольку любое множество открыто, дополнение любого множества также открыто, и, следовательно, любое множество замкнуто. Таким образом, все множества в этом метрическом пространстве являются clopen. В качестве менее тривиального примера рассмотрим пространство всех рациональных чисел с их обычной топологией и множество всех положительных рациональных чисел, квадрат которых больше 2. Используя тот факт, что не принадлежит , можно довольно легко показать, что является clopen подмножеством ( не является clopen подмножеством вещественной прямой; оно не является ни открытым, ни замкнутым в ).
Свойства
Топологическое пространство связно тогда и только тогда, когда единственными полуоткрытыми и полузамкнутыми множествами являются пустое множество и само пространство. Множество является полуоткрытым и полузамкнутым тогда и только тогда, когда его граница пуста. Любое полуоткрытое и полузамкнутое множество является объединением (возможно, бесконечного числа) связных компонент. Если все связные компоненты пространства открыты (например, если пространство имеет лишь конечное число компонент, или если оно локально связно), то множество является полуоткрытым и полузамкнутым в этом пространстве тогда и только тогда, когда оно является объединением связных компонент. Топологическое пространство дискретно тогда и только тогда, когда все его подмножества являются полуоткрытыми и полузамкнутыми. Используя объединение и пересечение в качестве операций, полуоткрытые и полузамкнутые подмножества данного топологического пространства образуют булеву алгебру. Каждая булева алгебра может быть получена таким образом из подходящего топологического пространства: см. теорему о представлении Стоуна для булевых алгебр.