Введение

Линия, пересекающая кривую как минимум в двух точках.
Секанс – тригонометрическая функция.

В геометрии секанс – это линия, пересекающая кривую в минимум двух различных точках. Слово «секанс» происходит от латинского слова «secare», что означает «резать». В случае с окружностью, секанс пересекает окружность ровно в двух точках. Хорда – это отрезок, соединяющий эти две точки, то есть интервал на секансе, концами которого являются эти две точки.

Круги

Прямая может пересекать окружность в нуле, одной или двух точках. Прямая, пересекающая окружность в двух точках, называется секущей, в одной точке – касательной, а не пересекающая окружность – внешней прямой. Хорда – это отрезок прямой, соединяющий две различные точки окружности. Следовательно, хорда содержится в единственной секущей, и каждая секущая определяет единственную хорду. В строгих современных подходах к планиметрии результаты, которые кажутся очевидными и принимались (без доказательства) Евклидом, обычно доказываются. Например, теорема (элементарная непрерывность окружности): Если – окружность, а – прямая, содержащая точку A, лежащую внутри окружности, и точку B, лежащую вне окружности, то является секущей для . В некоторых случаях формулировка результатов в терминах секущих, а не хорд, может помочь унифицировать утверждения. В качестве примера рассмотрим следующий результат: если две секущие содержат хорды и в окружности и пересекаются в точке P, не лежащей на окружности, то длины отрезков удовлетворяют соотношению AP⋅PB = CP⋅PD. Если точка P лежит внутри окружности, это Евклид III.35, но если точка лежит вне окружности, результат не содержится в «Началах». Однако Роберт Симсон, следуя за Кристофером Клаввием, доказал этот результат, иногда называемый теоремой о пересекающихся секущих, в своих комментариях к «Началам» Евклида.

Кривые

Для кривых, более сложных, чем простые окружности, возникает возможность того, что прямая пересекает кривую более чем в двух различных точках. Некоторые авторы определяют секущую к кривой как прямую, пересекающую кривую в двух различных точках. Такое определение не исключает возможности существования других точек пересечения прямой с кривой. При такой формулировке определения секущей для окружностей и кривых совпадают, просто для окружности дополнительное пересечение невозможно.

Секанты и тангенты

Секанты могут использоваться для приближения касательной к кривой в точке P, если она существует. Секанта к кривой определяется двумя точками, P и Q, при этом P фиксирована, а Q переменна. Когда Q приближается к P вдоль кривой, если наклон секанты стремится к предельному значению, то этот предел определяет наклон касательной в точке P. Например, если K – множество из 50 точек, расположенных на окружности в евклидовой плоскости, то прямая, соединяющая две из них, будет секантой 2-го порядка (или бисекантой), а прямая, проходящая только через одну из них, будет секантой 1-го порядка (или унисекантой). В этом примере унисеканта не обязательно является касательной к окружности. Эта терминология часто используется в геометрии инцидентности и дискретной геометрии. Например, теорема Сильвестра — Галлая в геометрии инцидентности утверждает, что если n точек евклидовой геометрии не лежат на одной прямой, то среди них должна существовать секанта 2-го порядка. А исходная задача о посадке сада в дискретной геометрии требует найти верхнюю границу для числа секант 3-го порядка для конечного множества точек. Конечность множества точек не является существенной в этом определении, пока каждая прямая может пересекать множество лишь в конечном числе точек.