Введение
Математическая функция
В математике обратное преобразование Лапласа функции — это кусочно-непрерывная и экспоненциально ограниченная вещественная функция, обладающая следующим свойством:
где обозначает прямое преобразование Лапласа. Можно доказать, что если функция имеет обратное преобразование Лапласа , то она определена однозначно (считая функции, отличающиеся друг от друга только на множестве точек меры Лебега нуль, равными). Этот результат был впервые доказан Матиасом Лерхом в 1903 году и известен как теорема Лерха. Преобразование Лапласа и обратное преобразование Лапласа вместе обладают рядом свойств, которые делают их полезными для анализа линейных динамических систем.
Формула инверсии Поста
Формула обращения Поста для преобразований Лапласа, названная в честь Эмиля Поста, представляет собой простую на вид, но обычно непрактичную формулу для вычисления обратного преобразования Лапласа. Формулировка формулы следующая: Пусть – непрерывная функция на интервале экспоненциального порядка, то есть
для некоторого действительного числа . Тогда для всех , преобразование Лапласа для существует и бесконечно дифференцируемо по переменной . Кроме того, если является преобразованием Лапласа для , то обратное преобразование Лапласа для задаётся выражением
для , где – производная порядка функции по переменной . Как видно из формулы, необходимость вычисления производных произвольно высоких порядков делает эту формулу непрактичной для большинства задач. С появлением мощных персональных компьютеров основные усилия по применению этой формулы были направлены на приближения или асимптотический анализ обратного преобразования Лапласа с использованием дифференциально-разностного оператора Грунвальда — Летникова для вычисления производных. Обращение Поста привлекло внимание благодаря развитию вычислительной науки и тому факту, что нет необходимости знать положение полюсов , что позволяет вычислять асимптотическое поведение при больших с помощью обратных преобразований Меллина для ряда арифметических функций, связанных с гипотезой Римана.
As can be seen from the formula, the need to evaluate derivatives of arbitrarily high orders renders this formula impractical for most purposes. With the advent of powerful personal computers, the main efforts to use this formula have come from dealing with approximations or asymptotic analysis of the Inverse Laplace transform, using the Grunwald–Letnikov differintegral to evaluate the derivatives. Post's inversion has attracted interest due to the improvement in computational science and the fact that it is not necessary to know where the poles of lie, which make it possible to calculate the asymptotic behaviour for big using inverse Mellin transforms for several arithmetical functions related to the Riemann hypothesis.