Кіріспе
Математикалық функция
Математикада функцияның кері Лаплас түрлендіруі – бөлшектік үздіксіздігі және экспоненциалды шектелген нақты функция, ол мына қасиетке ие:
мұндағы – Лаплас түрлендіруін білдіреді. Егер функцияның кері Лаплас түрлендіруі болса, онда ол бірегей түрде анықталады (бір-бірінен тек нөлдік Лебег өлшеміне ие нүктелер жиынында ғана ерекшеленетін функцияларды бірдей деп есептегенде). Бұл нәтижені алғаш рет 1903 жылы Матиас Лерх дәлелдеді және ол Лерх теоремасы деп аталады. Лаплас түрлендіруі мен кері Лаплас түрлендіруі бірге сызықтық динамикалық жүйелерді талдау үшін пайдалы болатын көптеген қасиеттерге ие.
Посттың инверсиялық формуласы
Эмил Посттың есімімен аталған Лаплас түрлендірулері үшін Посттың инверсиялық формуласы, сырттай қарағанда қарапайым болғанымен, көбінесе Лаплас кері түрлендіруін есептеу үшін қолдануға ыңғайсыз формула болып табылады. Формуланың мәлімдемесі мынадай: [f(t)] – экспоненциалдық өсім реті бар [a, ∞) аралығындағы үздіксіз функция болсын, яғни, кейбір нақты сан үшін. Онда, барлық s үшін, [f(s)] Лаплас түрлендіруі бар және s-қа қатысты шексіз дифференциалданады. Егер [F(s)] – [f(t)] Лаплас түрлендіруі болса, онда [f(t)] кері Лаплас түрлендіруі келесідей беріледі:
for some real number Then for all , the Laplace transform for exists and is infinitely differentiable with respect to Furthermore, if is the Laplace transform of , then the inverse Laplace transform of is given by
for , where is the th derivative of with respect to
As can be seen from the formula, the need to evaluate derivatives of arbitrarily high orders renders this formula impractical for most purposes. With the advent of powerful personal computers, the main efforts to use this formula have come from dealing with approximations or asymptotic analysis of the Inverse Laplace transform, using the Grunwald–Letnikov differintegral to evaluate the derivatives. Post's inversion has attracted interest due to the improvement in computational science and the fact that it is not necessary to know where the poles of lie, which make it possible to calculate the asymptotic behaviour for big using inverse Mellin transforms for several arithmetical functions related to the Riemann hypothesis.
мұндағы [F^(n)(s)] – [F(s)] функциясының s-қа қатысты n-ші туындысы. Формуладан көрініп тұрғанындай, кез келген жоғары дәрежедегі туындыларды есептеу қажеттігі осы формуланы көптеген жағдайларда қолдануға мүмкіншілік бермейді. Күшті жеке компьютерлердің пайда болуымен, осы формуланы қолдануға бағытталған күш-жігерлер негізінен кері Лаплас түрлендіруінің жуықтамаларын немесе асимптотикалық талдауын Grunwald-Letnikov айырма-интегралын қолданып туындыларды есептеу арқылы жүргізілді. Пост инверсиясы есептеу ғылымының жетілуіне және [F(s)] полюстерінің орналасқан жерін білу қажеттілігінің болмауына байланысты қызығушылық тудырды, бұл Риман гипотезасына байланысты бірнеше арифметикалық функциялар үшін кері Меллин түрлендірулерін қолданып, үлкен мәндердегі асимптотикалық мінез-құлықты есептеуге мүмкіндік береді.
for some real number Then for all , the Laplace transform for exists and is infinitely differentiable with respect to Furthermore, if is the Laplace transform of , then the inverse Laplace transform of is given by
for , where is the th derivative of with respect to
As can be seen from the formula, the need to evaluate derivatives of arbitrarily high orders renders this formula impractical for most purposes. With the advent of powerful personal computers, the main efforts to use this formula have come from dealing with approximations or asymptotic analysis of the Inverse Laplace transform, using the Grunwald–Letnikov differintegral to evaluate the derivatives. Post's inversion has attracted interest due to the improvement in computational science and the fact that it is not necessary to know where the poles of lie, which make it possible to calculate the asymptotic behaviour for big using inverse Mellin transforms for several arithmetical functions related to the Riemann hypothesis.