Введение

Теорема, утверждающая, что точечная ограниченность влечет равномерную ограниченность.

В математике принцип равномерной ограниченности, или теорема Банаха — Штейнхауса, является одним из фундаментальных результатов функционального анализа. Наряду с теоремой Ханна — Банаха и теоремой об открытом отображении, она считается одним из краеугольных камней этой области. В своей базовой формулировке она утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов (и, следовательно, ограниченных операторов), область определения которых является банаховым пространством, точечная ограниченность эквивалентна равномерной ограниченности в операторной норме. Теорема была впервые опубликована в 1927 году Стефаном Банахом и Хьюго Штейнхаусом, но также была независимо доказана Гансом Ханом.

Теорема

Полнота позволяет привести следующее короткое доказательство, использующее теорему о категории Бейра. Существуют также простые доказательства, не использующие теорему Бейра.

Обобщения

В топологическом векторном пространстве (ТВП) термин "ограниченное подмножество" относится конкретно к понятию подмножества, ограниченного по фон Нейману. Если пространство также является нормированным или полунормированным, скажем, с (полу)нормой ρ, то подмножество S ограничено (по фон Нейману) тогда и только тогда, когда оно ограничено по норме, что по определению означает…

Обобщения, включающие немежные подмножества

Хотя понятие немеазерного множества используется в следующей формулировке принципа равномерной ограниченности, область определения не предполагается пространством Байра. Каждое собственное векторное подпространство TVS имеет пустую внутренность в . Следовательно, в частности, каждое собственное замкнутое векторное подпространство нигде не плотно в и, таким образом, является множеством первой категории (меазерным) в (и то же самое справедливо для всех его подмножеств). Следовательно, любое векторное подпространство TVS, которое является множеством второй категории (немеазерным) в , должно быть плотным подмножеством в (поскольку в противном случае его замыкание в было бы замкнутым собственным векторным подпространством в и, следовательно, множеством первой категории).

Полная метризируемая область

доказывает более слабую форму этой теоремы для пространств Фреше, а не банаховых пространств.