Введение
Математический закон, обобщение закона квадратной взаимности, различные другие понятия взаимности и законы взаимности.
various other concepts of reciprocity and reciprocity laws
В математике закон взаимности является обобщением закона квадратной взаимности для произвольных моноичных неприводимых многочленов с целыми коэффициентами. Напомним, что первый закон взаимности, закон квадратной взаимности, определяет, когда неприводимый многочлен распадается на линейные множители при взятии по модулю. То есть, он определяет, для каких простых чисел выполняется соотношение. Для общего закона взаимности он определяется как правило, определяющее, для каких простых чисел многочлен распадается на линейные факторы, обозначаемое как. Существует несколько различных способов выражения законов взаимности. Ранние законы взаимности, найденные в XIX веке, обычно выражались в терминах символа степени остатка (p/q), обобщающего символ квадратной взаимности, который описывает, когда простое число является n-й степенью остатка по модулю другого простого числа, и устанавливает связь между (p/q) и (q/p). Гильберт переформулировал законы взаимности, утверждая, что произведение по всем простым числам p символов нормы Гильберта (a, b / p), принимающих значения в корнях из единицы, равно 1. Артин переформулировал законы взаимности как утверждение о том, что символ Артина из идеалов (или иделей) в элементы группы Галуа тривиален на определенной подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности, используя когомологии групп или представления аделических групп или алгебраических K-групп, и их связь с первоначальным законом квадратной взаимности может быть не очевидна. Название "закон взаимности" было введено Лежандром в его публикации 1785 года "Recherches d'analyse indéterminée", поскольку нечетные простые числа "взаимны" или нет в смысле квадратной взаимности, описанной ниже, в зависимости от их классов вычетов. Такое "взаимное" поведение не обобщается хорошо, в то время как эквивалентное поведение распада на множители обобщается. Название "закон взаимности" по-прежнему используется в более общем контексте распада на множители.
There are several different ways to express reciprocity laws. The early reciprocity laws found in the 19th century were usually expressed in terms of a power residue symbol (p/q) generalizing the quadratic reciprocity symbol, that describes when a prime number is an nth power residue modulo another prime, and gave a relation between (p/q) and (q/p). Hilbert reformulated the reciprocity laws as saying that a product over p of Hilbert norm residue symbols (a,b/p), taking values in roots of unity, is equal to 1. Artin reformulated the reciprocity laws as a statement that the Artin symbol from ideals (or ideles) to elements of a Galois group is trivial on a certain subgroup. Several more recent generalizations express reciprocity laws using cohomology of groups or representations of adelic groups or algebraic K groups, and their relationship with the original quadratic reciprocity law can be hard to see. The name reciprocity law was coined by Legendre in his 1785 publication Recherches d'analyse indéterminée, because odd primes reciprocate or not in the sense of quadratic reciprocity stated below according to their residue classes This reciprocating behavior does not generalize well, the equivalent splitting behavior does. The name reciprocity law is still used in the more general context of splittings.
Местная взаимность
Хассе представил локальный аналог закона взаимности Артина, называемый законом местной взаимности. Одна из его форм утверждает, что для конечного абелева расширения L/K локальных полей отображение Артина является изоморфизмом из группы Галуа в группу Галуа.
from onto the Galois group .
Явные законы взаимности
Для получения закона взаимности в классическом виде из закона взаимности Гильберта Π(a,b)p=1, необходимо знать значения (a,b)p для простых делителей n. Явные формулы для вычисления этих значений иногда называют явными законами взаимности.
Законы рациональной взаимности
Закон рациональной взаимности — это закон, сформулированный с использованием рациональных целых чисел без применения корней из единицы.
Взаимность Лэнгленда
Программа Лэнгленда включает несколько гипотез для общих редуктивных алгебраических групп, которые в случае группы GL1 приводят к закону взаимности Артина.
Закон взаимности Ямамото
Закон взаимности Ямамото — это закон взаимности, связанный с числами классов квадратичных числовых полей.